{"id":716,"date":"2023-07-29T00:10:17","date_gmt":"2023-07-29T00:10:17","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-binomiale\/"},"modified":"2023-07-29T00:10:17","modified_gmt":"2023-07-29T00:10:17","slug":"distribuzione-binomiale","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-binomiale\/","title":{"rendered":"Un&#39;introduzione alla distribuzione binomiale"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><script src=\"https:\/\/cdnjs.cloudflare.com\/ajax\/libs\/mathjs\/5.1.1\/math.js\"><\/script><script src=\"https:\/\/cdn.jsdelivr.net\/npm\/jstat@latest\/dist\/jstat.min.js\"><\/script><\/p>\n<style>\n@import url('https:\/\/fonts.googleapis.com\/css?family=Droid+Serif|Raleway');<\/p>\n<p>#words {\ncolor: black;\nfont-family: Raleway;\nmax-width: 550px;\nmargin: 25px auto;\nline-height: 1.75;\npadding-left: 100px;\n}<\/p>\n<p>#words label, input {\n    display: inline-block;\n    vertical-align: baseline;\n    width: 350px;\n}<\/p>\n<p>    #button {\n      border: 1px solid;\n      border-radius: 10px;\n      margin-top: 20px;\n      padding: 10px 10px;\n      cursor: pointer;\n      outline: none;\n      background-color: white;\n      color: black;\n      font-family: 'Work Sans', sans-serif;\n      border: 1px solid grey;\n      \/* Green *\/\n    }<\/p>\n<p>    #button:hover {\n      background-color: #f6f6f6;\n      border: 1px solid black;\n    }<\/p>\n<p>p, li {\n  color:#000000;\n  font-size: 19px;\n  font-family: 'Helvetica';\n}<\/p>\n<p>p a {\n  color: #9b59b6 !important;\n}\n<\/style>\n<p class=\"has-text-color\" style=\"color:#000000\">La <strong>distribuzione binomiale<\/strong> \u00e8 una delle distribuzioni pi\u00f9 popolari in statistica. Per comprendere la distribuzione binomiale, \u00e8 utile innanzitutto comprendere <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/esperimento-binomiale\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"binomial experiments (opens in a new tab)\">gli esperimenti binomiali<\/a> .<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> <strong>Esperimenti binomiali<\/strong><\/h3>\n<p> Un <strong>esperimento binomiale<\/strong> \u00e8 un esperimento che ha le seguenti propriet\u00e0:<\/p>\n<ul>\n<li> L&#8217;esperimento consiste in <em>n<\/em> prove ripetute.<\/li>\n<li> Ogni prova ha solo due possibili esiti.<\/li>\n<li> La probabilit\u00e0 di successo, indicata con <em>p<\/em> , \u00e8 la stessa per ogni prova.<\/li>\n<li> Ogni test \u00e8 indipendente.<\/li>\n<\/ul>\n<p> L&#8217;esempio pi\u00f9 ovvio di esperimento binomiale \u00e8 il lancio di una moneta. Ad esempio, supponiamo di lanciare una moneta 10 volte. Questo \u00e8 un esperimento binomiale perch\u00e9 ha le seguenti quattro propriet\u00e0:<\/p>\n<ul>\n<li> L&#8217;esperimento consiste in <em>n<\/em> prove ripetute \u2013 Ci sono 10 prove.<\/li>\n<li> Ogni prova ha solo due possibili esiti: testa o croce.<\/li>\n<li> La probabilit\u00e0 di successo, indicata con <em>p<\/em> , \u00e8 la stessa per ogni prova. Se definiamo \u201csuccesso\u201d l\u2019atterraggio delle teste, allora la probabilit\u00e0 di successo \u00e8 esattamente 0,5 per ogni prova.<\/li>\n<li> Ogni prova \u00e8 indipendente \u2013 Il risultato di un lancio di moneta non influenza il risultato di qualsiasi altro lancio di moneta.<\/li>\n<\/ul>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> <strong>La distribuzione binomiale<\/strong><\/h3>\n<p> La <strong>distribuzione binomiale<\/strong> descrive la probabilit\u00e0 di ottenere <em>k<\/em> successi in <em>n<\/em> esperimenti binomiali.<\/p>\n<p> Se una <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/variabili-casuali\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"random variable (opens in a new tab)\">variabile casuale<\/a> <em>X<\/em> segue una distribuzione binomiale, la probabilit\u00e0 che <em>X<\/em> = <em>k<\/em> successo pu\u00f2 essere trovata con la seguente formula:<\/p>\n<p> <strong>P(X=k) = <sub>n<\/sub> C <sub>k<\/sub> * p <sup>k<\/sup> * (1-p) <sup>nk<\/sup><\/strong><\/p>\n<p> Oro:<\/p>\n<ul>\n<li> <strong>n:<\/strong> numero di prove<\/li>\n<li> <strong>k:<\/strong> numero di successi<\/li>\n<li> <strong>p:<\/strong> probabilit\u00e0 di successo in una determinata prova<\/li>\n<li> <strong><sub>n<\/sub> C <sub>k<\/sub> :<\/strong> il numero di modi per ottenere <em>k<\/em> successi in <em>n<\/em> prove<\/li>\n<\/ul>\n<p> Ad esempio, supponiamo di lanciare una moneta 3 volte. Possiamo usare la formula sopra per determinare la probabilit\u00e0 di ottenere 0, 1, 2 e 3 teste con questi 3 lanci:<\/p>\n<p> <strong>P(X=0)<\/strong> = <sub>3<\/sub> C <sub>0<\/sub> * 0,5 <sup>0<\/sup> * (1-0,5) <sup>3-0<\/sup> = 1 * 1 * (0,5) <sup>3<\/sup> = <strong>0,125<\/strong><\/p>\n<p> <strong>P(X=1)<\/strong> = <sub>3<\/sub> C <sub>1<\/sub> * 0,5 <sup>1<\/sup> * (1-0,5) <sup>3-1<\/sup> = 3 * 0,5 * (0,5) <sup>2<\/sup> = <strong>0,375<\/strong><\/p>\n<p> <strong>P(X=2)<\/strong> = <sub>3<\/sub> C <sub>2<\/sub> * 0,5 <sup>2<\/sup> * (1-0,5) <sup>3-2<\/sup> = 3 * 0,25 * (0,5) <sup>1<\/sup> = <strong>0,375<\/strong><\/p>\n<p> <strong>P(X=3)<\/strong> = <sub>3<\/sub> C <sub>3<\/sub> * 0,5 <sup>3<\/sup> * (1-0,5) <sup>3-3<\/sup> = 1 * 0,125 * (0,5) <sup>0<\/sup> = <strong>0,125<\/strong><\/p>\n<p> <em>Nota<\/em> <strong><em>:<\/em><\/strong> <em>abbiamo utilizzato questo calcolatore combinato per calcolare<\/em> <sub><em>nCk<\/em><\/sub> <sub><em>per<\/em><\/sub> <em>ciascun esempio.<\/em><\/p>\n<p> Possiamo creare un semplice istogramma per visualizzare questa distribuzione di probabilit\u00e0: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/binomdist1.png\" alt=\"Istogramma della distribuzione binomiale\" class=\"wp-image-7153\" width=\"339\" height=\"335\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> <strong>Calcolo delle probabilit\u00e0 binomiali cumulative<\/strong><\/h3>\n<p> \u00c8 semplice calcolare una singola probabilit\u00e0 binomiale (ad esempio la probabilit\u00e0 che una moneta esca testa 1 volta su 3 lanci) utilizzando la formula sopra, ma per calcolare le probabilit\u00e0 binomiali cumulative dobbiamo aggiungere le probabilit\u00e0 individuali.<\/p>\n<p> Ad esempio, supponiamo di voler conoscere la probabilit\u00e0 che una moneta esca testa 1 volta o meno su 3 lanci. Utilizzeremmo la seguente formula per calcolare questa probabilit\u00e0:<\/p>\n<p> <strong>P(X\u22641)<\/strong> = P(X=0) + P(X=1) = 0,125 + 0,375 = <strong>0,5<\/strong> .<\/p>\n<p> Questa \u00e8 chiamata <strong>probabilit\u00e0 cumulativa<\/strong> perch\u00e9 implica l&#8217;aggiunta di pi\u00f9 probabilit\u00e0. Possiamo calcolare la probabilit\u00e0 cumulativa di ottenere <em>k<\/em> teste o meno per ciascun risultato utilizzando una formula simile:<\/p>\n<p> <strong>P(X\u22640)<\/strong> = P(X=0) = <strong>0,125<\/strong> .<\/p>\n<p> <strong>P(X\u22641)<\/strong> = P(X=0) + P(X=1) = 0,125 + 0,375 = <strong>0,5<\/strong> .<\/p>\n<p> <strong>P(X\u22642)<\/strong> = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,125 + 0,375 + 0,375 = <strong>0,875<\/strong> .<\/p>\n<p> <strong>P(X\u22643)<\/strong> = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = <strong>1<\/strong> .<\/p>\n<p> Possiamo creare un istogramma per visualizzare questa distribuzione di probabilit\u00e0 cumulativa: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/binomdist2.png\" alt=\"Distribuzione di probabilit\u00e0 binomiale cumulativa\" class=\"wp-image-7161\" width=\"346\" height=\"341\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> <strong>Calcolatore della probabilit\u00e0 binomiale<\/strong><\/h3>\n<p> Quando lavoriamo con numeri piccoli (ad esempio 3 lanci di una moneta), \u00e8 ragionevole calcolare manualmente le probabilit\u00e0 binomiali. Tuttavia, quando lavoriamo con numeri pi\u00f9 grandi (ad esempio 100 estrazioni), pu\u00f2 essere difficile calcolare manualmente le probabilit\u00e0. In questi casi pu\u00f2 essere utile utilizzare un <strong>calcolatore di probabilit\u00e0 binomiale<\/strong> come quello seguente.<\/p>\n<p> Ad esempio, supponiamo di lanciare una moneta n = 100 volte, la probabilit\u00e0 che esca testa in una data prova \u00e8 p = 0,5 e vogliamo conoscere la probabilit\u00e0 che esca testa k = 43 volte o meno:<\/p>\n<div id=\"words\"> <label for=\"p\"><b>p<\/b> (probabilit\u00e0 di successo in una determinata prova)<\/label><input id=\"p\" min=\"0\" type=\"number\" value=\"0.5\"><\/div>\n<div id=\"words\"> <label for=\"n\"><b>n<\/b> (numero di prove)<\/label><input id=\"n\" min=\"0\" type=\"number\" value=\"100\"><\/div>\n<div id=\"words\"> <label for=\"k\"><b>k<\/b> (numero di successi)<\/label> <input id=\"k\" min=\"0\" type=\"number\" value=\"43\"><\/div>\n<div id=\"words\"><input id=\"button\" type=\"button\" value=\"Calculate\" onclick=\"pvalue()\"><\/div>\n<div id=\"words\">\n<p> P(X= <span id=\"k1\">43<\/span> ) = <span id=\"exactProb\">0,03007<\/span><\/p>\n<p> P(X&lt; <span id=\"k2\">43<\/span> ) = <span id=\"lessProb\">0,06661<\/span><\/p>\n<p> P( <span id=\"k3\">X\u226443<\/span> ) = <span id=\"lessEProb\">0,09667<\/span><\/p>\n<p> P(X&gt; <span id=\"k4\">43<\/span> ) = <span id=\"greaterProb\">0,90333<\/span><\/p>\n<p> P( <span id=\"k5\">X\u226543<\/span> ) = <span id=\"greaterEProb\">0,93339<\/span><\/p>\n<\/div>\n<p><script><\/p>\n<p>function pvalue() {<\/p>\n<p>\/\/get input values\nvar p = document.getElementById('p').value*1;\nvar n = document.getElementById('n').value*1;\nvar k = document.getElementById('k').value*1;<\/p>\n<p>\/\/assign probabilities to variable names\nvar exactProb = jStat.binomial.pdf(k,n,p);\nvar lessProb = jStat.binomial.cdf(k-1,n,p);\nvar lessEProb = jStat.binomial.cdf(k,n,p);\nvar greaterProb = 1-jStat.binomial.cdf(k,n,p);\nvar greaterEProb = 1-jStat.binomial.cdf(k-1,n,p);<\/p>\n<p>\/\/output probabilities\ndocument.getElementById('k1').innerHTML = k;\ndocument.getElementById('k2').innerHTML = k;\ndocument.getElementById('k3').innerHTML = k;\ndocument.getElementById('k4').innerHTML = k;\ndocument.getElementById('k5').innerHTML = k;<\/p>\n<p>document.getElementById('exactProb').innerHTML = exactProb.toFixed(5);\ndocument.getElementById('lessProb').innerHTML = lessProb.toFixed(5);\ndocument.getElementById('lessEProb').innerHTML = lessEProb.toFixed(5);\ndocument.getElementById('greaterProb').innerHTML = greaterProb.toFixed(5);\ndocument.getElementById('greaterEProb').innerHTML = greaterEProb.toFixed(5);\n}\n<\/script><\/p>\n<p>Ecco come interpretare il risultato:<\/p>\n<ul>\n<li> La probabilit\u00e0 che esca testa esattamente 43 volte \u00e8 <strong>0,03007<\/strong> .<\/li>\n<li> La probabilit\u00e0 che la moneta esca testa meno di 43 volte \u00e8 <strong>0,06661<\/strong> .<\/li>\n<li> La probabilit\u00e0 che la moneta esca testa 43 volte o meno \u00e8 <strong>0,09667<\/strong> .<\/li>\n<li> La probabilit\u00e0 che la moneta esca testa pi\u00f9 di 43 volte \u00e8 <strong>0,90333<\/strong> .<\/li>\n<li> La probabilit\u00e0 che la moneta esca testa 43 volte o pi\u00f9 \u00e8 <strong>0,93339<\/strong> .<\/li>\n<\/ul>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> <strong>Propriet\u00e0 della distribuzione binomiale<\/strong><\/h3>\n<p> La distribuzione binomiale ha le seguenti propriet\u00e0:<\/p>\n<p> La media della distribuzione \u00e8 <strong>\u03bc = np<\/strong><\/p>\n<p> La varianza della distribuzione \u00e8 <strong>\u03c3<\/strong> <sup><strong>2<\/strong><\/sup> <strong>= np(1-p)<\/strong><\/p>\n<p> La deviazione standard della distribuzione \u00e8 <strong>\u03c3 = \u221a<\/strong> <span style=\"text-decoration: overline;\"><strong>np(1-p)<\/strong><\/span><\/p>\n<p> Ad esempio, supponiamo di lanciare una moneta 3 volte. Sia p = la probabilit\u00e0 che esca testa.<\/p>\n<p> Il numero medio di teste che ci aspettiamo \u00e8 \u03bc = np = 3*.5 = <strong>1.5<\/strong> .<\/p>\n<p> La varianza del numero dei presenti che ci aspettiamo \u00e8 \u03c3 <sup>2<\/sup> = np(1-p) = 3*.5*(1-.5) = <strong>0.75<\/strong> .<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> <strong>Problemi pratici di distribuzione binomiale<\/strong><\/h3>\n<p> Utilizza i seguenti problemi pratici per verificare la tua conoscenza della distribuzione binomiale.<\/p>\n<p> <strong>Problema 1<\/strong><\/p>\n<p> <strong>Domanda:<\/strong> Bob effettua il 60% dei suoi tiri liberi. Se effettua 12 tiri liberi, qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che ne effettui esattamente 10?<\/p>\n<p> <strong>Risposta:<\/strong> utilizzando il calcolatore della distribuzione binomiale sopra con p = 0,6, n = 12 e k = 10, troviamo che P(X=10) = <strong>0,06385<\/strong> .<\/p>\n<p> <strong>Problema 2<\/strong><\/p>\n<p> <strong>Domanda:<\/strong> Jessica lancia una moneta 5 volte. Qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che esca testa 2 volte o meno?<\/p>\n<p> <strong>Risposta:<\/strong> utilizzando il calcolatore della distribuzione binomiale sopra con p = 0,5, n = 5 e k = 2, troviamo che P(X\u22642) = <strong>0,5<\/strong> .<\/p>\n<p> <strong>Problema 3<\/strong><\/p>\n<p> <strong>Domanda:<\/strong> La probabilit\u00e0 che un dato studente venga accettato in una determinata universit\u00e0 \u00e8 0,2. Se si candidano 10 studenti, qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che ne vengano accettati pi\u00f9 di 4?<\/p>\n<p> <strong>Risposta:<\/strong> utilizzando il calcolatore della distribuzione binomiale sopra con p = 0,2, n = 10 e k = 4, troviamo che P(X&gt;4) = <strong>0,03279<\/strong> .<\/p>\n<p> <strong>Problema 4<\/strong><\/p>\n<p> <strong>Domanda:<\/strong> lanci una moneta 12 volte. Qual \u00e8 il numero medio previsto di teste che appariranno?<\/p>\n<p> <strong>Risposta:<\/strong> ricorda che la media di una distribuzione binomiale \u00e8 calcolata come \u03bc = np. Quindi, \u03bc = 12*0,5 = <strong>6 teste<\/strong> .<\/p>\n<p> <strong>Problema 5<\/strong><\/p>\n<p> <strong>Domanda:<\/strong> Mark fa un fuoricampo nel 10% dei suoi tentativi. Se effettua 5 tentativi in una determinata partita, qual \u00e8 la varianza nel numero di fuoricampo che effettua?<\/p>\n<p> <strong>Risposta:<\/strong> Ricordiamo che la varianza di una distribuzione binomiale \u00e8 calcolata come \u03c3 <sup>2<\/sup> = np(1-p). Pertanto, <sup>\u03c32<\/sup> = 6*.1*(1-.1) = <strong>0,54<\/strong> .<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\"> <strong>Risorse addizionali<\/strong><\/h3>\n<p> I seguenti articoli possono aiutarti a imparare come utilizzare la distribuzione binomiale in diversi software statistici:<\/p>\n<ul>\n<li> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-binomiale-excel\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"How to calculate binomial probabilities in Excel (opens in a new tab)\">Come calcolare le probabilit\u00e0 binomiali in Excel<\/a><\/li>\n<li> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/calcolatrice-probabilita-binomiali-ti-84\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"How to calculate binomial probabilities on a TI-84 calculator (opens in a new tab)\">Come calcolare le probabilit\u00e0 binomiali su una calcolatrice TI-84<\/a><\/li>\n<li> Come calcolare le probabilit\u00e0 binomiali in R<\/li>\n<li> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/tracciare-la-distribuzione-binomiale-r\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\" aria-label=\"How to plot a binomial distribution in R (opens in a new tab)\">Come tracciare una distribuzione binomiale in R<\/a><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La distribuzione binomiale \u00e8 una delle distribuzioni pi\u00f9 popolari in statistica. 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