{"id":759,"date":"2023-07-28T20:46:17","date_gmt":"2023-07-28T20:46:17","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-del-pesce\/"},"modified":"2023-07-28T20:46:17","modified_gmt":"2023-07-28T20:46:17","slug":"distribuzione-del-pesce","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/distribuzione-del-pesce\/","title":{"rendered":"Un&#39;introduzione alla distribuzione di poisson"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">La <strong>distribuzione di Poisson<\/strong> \u00e8 una delle distribuzioni pi\u00f9 popolari in statistica.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Per comprendere la distribuzione di Poisson, \u00e8 utile prima comprendere gli esperimenti di Poisson.<\/span><\/p>\n<h2> <strong>Esperimenti sui pesci<\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Un <strong>esperimento di Poisson<\/strong> \u00e8 un esperimento che ha le seguenti propriet\u00e0:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Si pu\u00f2 contare il numero dei successi dell&#8217;esperimento.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u00c8 noto il numero medio di successi avvenuti durante uno specifico intervallo di tempo (o spazio).<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Ogni risultato \u00e8 indipendente.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">La probabilit\u00e0 che si verifichi un successo \u00e8 proporzionale alla dimensione dell&#8217;intervallo.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Un esempio di esperimento di Poisson \u00e8 il numero di nascite all&#8217;ora in un dato ospedale. Ad esempio, supponiamo che un particolare ospedale abbia una media di 10 nascite all&#8217;ora. Questo \u00e8 un esperimento di Poisson perch\u00e9 ha le seguenti quattro propriet\u00e0:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Si pu\u00f2 contare il numero dei successi dell\u2019esperimento \u2013 Possiamo contare il numero delle nascite.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u00c8 noto il numero medio di nascite che si verificano durante un determinato intervallo di tempo \u2013 \u00c8 noto che ci sono in media 10 nascite all&#8217;ora.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Ogni risultato \u00e8 indipendente \u2013 La probabilit\u00e0 che una madre partorisca in una determinata ora \u00e8 indipendente dalla probabilit\u00e0 che un\u2019altra madre partorisca.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">La probabilit\u00e0 che si verifichi un successo \u00e8 proporzionale alla dimensione dell&#8217;intervallo: pi\u00f9 lungo \u00e8 l&#8217;intervallo di tempo, maggiore \u00e8 la probabilit\u00e0 che si verifichi una nascita.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Possiamo utilizzare la distribuzione di Poisson per rispondere a domande sulle probabilit\u00e0 relative a questo esperimento di Poisson come:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che avvengano pi\u00f9 di 12 nascite in una data ora?<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che avvengano meno di 5 nascite in una data ora?<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che in una data ora avvengano tra 8 e 11 nascite?<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<h2> <strong>La distribuzione dei pesci<\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La <strong>distribuzione di Poisson<\/strong> descrive la probabilit\u00e0 di ottenere <em>k<\/em> successi durante un dato intervallo di tempo.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Se una <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/variabili-casuali\/\" target=\"_blank\" rel=\"noreferrer noopener\">variabile casuale<\/a> <em>X<\/em> segue una distribuzione di Poisson, la probabilit\u00e0 che <em>X<\/em> = <em>k<\/em> successo pu\u00f2 essere trovata con la seguente formula:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=k) = \u03bb <sup>k<\/sup> * e <sup>\u2013 \u03bb<\/sup> \/ k!<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Oro:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>\u03bb:<\/strong> numero medio di successi che si verificano durante un intervallo specifico<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>k:<\/strong> numero di successi<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><b>e:<\/b> una costante pari a circa 2,71828<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, supponiamo che in un particolare ospedale si verifichino in media 2 nascite all&#8217;ora. Possiamo usare la formula sopra per determinare la probabilit\u00e0 di sperimentare 0, 1, 2, 3 nascite, ecc. in una determinata ora:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=0)<\/strong> = 2 <sup>0<\/sup> * e <sup>\u2013 2<\/sup> \/ 0! = <strong>0,1353<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=1)<\/strong> = 2 <sup>1<\/sup> * e <sup>\u2013 2<\/sup> \/ 1! = <strong>0,2707<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=2)<\/strong> = 2 <sup>2<\/sup> * e <sup>\u2013 2<\/sup> \/ 2! = <strong>0,2707<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X=3)<\/strong> = 2 <sup>3<\/sup> * e <sup>\u2013 2<\/sup> \/ 3! = <strong>0,1805<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Possiamo calcolare la probabilit\u00e0 di un numero qualsiasi di nascite fino all&#8217;infinito. Creiamo quindi un semplice istogramma per visualizzare questa distribuzione di probabilit\u00e0:<\/span> <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-8131 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/poissondist1.png\" alt=\"Grafico della distribuzione dei pesci\" width=\"472\" height=\"347\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h2> <strong>Calcolo delle probabilit\u00e0 di Poisson cumulative<\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">\u00c8 semplice calcolare una singola probabilit\u00e0 di Poisson (ad esempio la probabilit\u00e0 che in un ospedale si verifichino 3 nascite in una determinata ora) utilizzando la formula precedente, ma per calcolare le probabilit\u00e0 di Poisson cumulative dobbiamo aggiungere le probabilit\u00e0 individuali.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, supponiamo di voler conoscere la probabilit\u00e0 che in ospedale si verifichino 1 o meno parti in una determinata ora. Utilizzeremmo la seguente formula per calcolare questa probabilit\u00e0:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X\u22641)<\/strong> = P(X=0) + P(X=1) = 0,1353 + 0,2707 = <strong>0,406<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Questa \u00e8 chiamata <strong>probabilit\u00e0 cumulativa<\/strong> perch\u00e9 implica l&#8217;aggiunta di pi\u00f9 probabilit\u00e0. Possiamo calcolare la probabilit\u00e0 cumulativa di avere <em>k<\/em> nascite o meno in una data ora utilizzando una formula simile:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X\u22640)<\/strong> = P(X=0) = <strong>0,1353<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X\u22641)<\/strong> = P(X=0) + P(X=1) = 0,1353 + 0,2707 = <strong>0,406<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>P(X\u22642)<\/strong> = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) =0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = <strong>0,6767<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Possiamo calcolare queste probabilit\u00e0 cumulative per qualsiasi numero di nascite fino all&#8217;infinito. Possiamo quindi creare un istogramma per visualizzare questa distribuzione di probabilit\u00e0 cumulativa:<\/span> <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" class=\"aligncenter wp-image-8132 \" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/poissondist2.png\" alt=\"Esempio di distribuzione di probabilit\u00e0 cumulativa di Poisson\" width=\"474\" height=\"289\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/p>\n<div class=\"wp-block-image\"><\/div>\n<h2> <strong>Propriet\u00e0 della distribuzione di Poisson<\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La distribuzione di Poisson gode delle seguenti propriet\u00e0:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La media della distribuzione \u00e8 <strong>\u03bb<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Anche la varianza della distribuzione \u00e8 <strong>\u03bb<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La deviazione standard della distribuzione \u00e8 <strong>\u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">\u03bb<\/span><\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ad esempio, supponiamo che un ospedale abbia una media di 2 nascite all&#8217;ora.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Il numero medio di nascite attese in una data ora \u00e8 \u03bb = 2 nascite.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">La varianza nel numero di nascite che ci aspettiamo \u00e8 \u03bb = 2 nascite.<\/span><\/p>\n<h2> <strong>Problemi relativi alla pratica della distribuzione del pesce<\/strong><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Utilizza i seguenti problemi pratici per verificare la tua conoscenza della distribuzione di Poisson.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><em><strong>Nota:<\/strong> utilizzeremo il <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/calcolatore-della-distribuzione-del-pesce\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">calcolatore della distribuzione di Poisson<\/a> per calcolare le risposte a queste domande.<\/em><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Problema 1<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Domanda:<\/strong> Sappiamo che un determinato sito web effettua 10 vendite all&#8217;ora. In una data ora, qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che il sito realizzi esattamente 8 vendite?<\/span><\/p>\n<p data-slot-rendered-dynamic=\"true\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Risposta:<\/strong> Utilizzando il calcolatore della distribuzione di Poisson con \u03bb = 10 e x = 8, troviamo che P(X=8) = <strong>0,1126<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Problema 2<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Domanda:<\/strong> Sappiamo che un certo agente immobiliare effettua in media 5 vendite al mese. In un dato mese, qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che effettui pi\u00f9 di 7 vendite?<\/span><\/p>\n<p data-slot-rendered-dynamic=\"true\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Risposta:<\/strong> utilizzando il calcolatore della distribuzione di Poisson con \u03bb = 5 e x = 7, troviamo che P(X&gt;7) = <strong>0,13337<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Problema 3<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Domanda:<\/strong> Sappiamo che in un determinato ospedale si effettuano 4 parti all&#8217;ora. In una data ora, qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che ci siano 4 nascite o meno?<\/span><\/p>\n<p data-slot-rendered-dynamic=\"true\"> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Risposta:<\/strong> utilizzando il calcolatore della distribuzione di Poisson con \u03bb = 4 e x = 4, troviamo che P(X\u22644) = <strong>0,62884<\/strong> .<\/span><\/p>\n<h2> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Risorse addizionali<\/strong><\/span><\/h2>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">I seguenti articoli spiegano come utilizzare la distribuzione di Poisson in diversi software statistici:<\/span><\/p>\n<p> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/ppois-ppois-qpois-rpois-r\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Come utilizzare la distribuzione di Poisson in R<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/la-distribuzione-del-pesce-eccelle\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Come utilizzare la distribuzione di Poisson in Excel<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/calcolatore-delle-probabilita-dei-pesci-ti-84\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Come calcolare le probabilit\u00e0 di Poisson su una calcolatrice TI-84<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/esempi-reali-di-distribuzione-del-pesce\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Esempi reali della distribuzione di Poisson<\/a><br \/> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/calcolatore-della-distribuzione-del-pesce\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Calcolatore della distribuzione dei pesci<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La distribuzione di Poisson \u00e8 una delle distribuzioni pi\u00f9 popolari in statistica. 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