{"id":80,"date":"2023-08-05T17:04:07","date_gmt":"2023-08-05T17:04:07","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/it\/matrice-di-decovarianza\/"},"modified":"2023-08-05T17:04:07","modified_gmt":"2023-08-05T17:04:07","slug":"matrice-di-decovarianza","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/it\/matrice-di-decovarianza\/","title":{"rendered":"Matrice di covarianza"},"content":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 la matrice di covarianza e qual \u00e8 la sua formula. Scoprirai come creare la matrice di covarianza con un esempio concreto e le propriet\u00e0 delle matrici di covarianza. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-matriz-de-covarianza\"><\/span> Cos&#8217;\u00e8 la matrice di covarianza?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> La <strong>matrice di covarianza<\/strong> \u00e8 una matrice quadrata i cui elementi sono le varianze e le covarianze delle variabili studiate. Pertanto, gli elementi della diagonale principale della matrice di covarianza rappresentano la varianza di ciascuna variabile e gli elementi rimanenti sono le covarianze tra le variabili.<\/p>\n<p> In statistica, la matrice di covarianza viene utilizzata per analizzare la relazione tra due o pi\u00f9 variabili casuali. La matrice di covarianza \u00e8 molto utile perch\u00e9 permette di interpretare velocemente la correlazione tra molte variabili, poich\u00e9 \u00e8 possibile vedere contemporaneamente i valori di tutte le covarianze delle variabili.<\/p>\n<p> Il simbolo della matrice di covarianza \u00e8 la lettera greca maiuscola sigma (\u03a3). <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"como-calcular-la-matriz-de-covarianza\"><\/span> Come calcolare la matrice di covarianza<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Per <strong>calcolare la matrice di covarianza<\/strong> di pi\u00f9 variabili statistiche, \u00e8 necessario eseguire i seguenti passaggi:<\/p>\n<ol style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:14px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Calcolare le varianze di tutte le variabili.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:14px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Calcolare la covarianza di ciascuna coppia di variabili.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Forma la matrice di covarianza:<\/span><\/li>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">La varianza della variabile <em>i<\/em> deve essere collocata sulla diagonale principale della matrice, pi\u00f9 precisamente nella posizione <em>i,i<\/em> .<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">La covarianza tra le variabili <em>i<\/em> e <em>j<\/em> deve essere messa nella posizione <em>i,j<\/em> della matrice.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<\/ol>\n<p> La <strong>formula per la matrice di covarianza<\/strong> \u00e8 quindi la seguente: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-large is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/matrice-de-covariance.png\" alt=\"matrice di covarianza\" class=\"wp-image-1714\" width=\"602\" height=\"219\" srcset=\"\" sizes=\"\"><\/figure>\n<\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-de-matriz-de-covarianza\"><\/span> Esempio di matrice di covarianza<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Dopo aver visto la definizione di matrice di covarianza, di seguito \u00e8 riportato un esercizio passo passo in modo da poter vedere come \u00e8 realizzato questo tipo di matrice.<\/p>\n<p> Calcola la matrice di covarianza delle variabili X, Y e Z, i cui valori sono:<\/p>\n<ul>\n<li> X: 4, 7, 12, 5, 7<\/li>\n<li> E: 9, 15, 19, 6, 8<\/li>\n<li> Z: 7, 2, 4, 6, 3<\/li>\n<\/ul>\n<p> La prima cosa che dobbiamo fare \u00e8 determinare le varianze di tutte le variabili: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-246675afb851649ad3289cc9fdd86de8_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Var(X)=7,6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"111\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-04c40f4402759ea0ba6b1507f0865564_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Var(Y)=23,44\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"127\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3b9aa0b6c1af85b98c41d6e91c2d42ec_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Var(Z)=3,44\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"118\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/varianza\/\">calcolatore del gap<\/a><\/div>\n<p> In secondo luogo, troviamo la covarianza tra ciascuna coppia di variabili: <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-997ada9147a8e29f8e808795aebb7c90_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,Y)=11,2\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"140\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-e7c4b2aa6cd24dabf9c4538030f30b1b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,Z)=-2,6\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"145\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3f9c1dab7f4691d9a35e56e3e166d919_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(Y,Z)=-4,36\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"150\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Vedi:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/it\/covarianza\/\">calcolatore di covarianza<\/a><\/div>\n<p> E una volta calcolate tutte le varianze e le covarianze, non resta che creare la matrice di covarianza. Per fare ci\u00f2, mettiamo i valori di varianza sulla diagonale principale della matrice e i valori di covarianza nella posizione corrispondente:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3a423b40ad6d25b57327b1f3dccd5df4_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\Sigma=\\begin{pmatrix}Var(X)&amp;Cov(X,Y)&amp;Cov(X,Z)\\\\[1.5ex]Cov(Y,X)&amp;Var(Y)&amp;Cov(Y,Z)\\\\[1.5ex]Cov(Z,X)&amp;Cov(Z,Y)&amp;Var(Z)\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"86\" width=\"342\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-d90c58cc3c8ecef6a85c88196e1dd08d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\Sigma=\\begin{pmatrix}7,6&amp;11,2&amp;-2,6\\\\[1.5ex]11,2&amp;23,44&amp;-4,36\\\\[1.5ex]-2,6&amp;-4,36&amp;3,44\\end{pmatrix}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"85\" width=\"231\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Come puoi vedere, rappresentando le varianze e le covarianze in una matrice, \u00e8 molto semplice interpretare le variabili. La variabile con la maggiore dispersione \u00e8 Y (23.44), invece le variabili X e Y hanno una relazione diretta, mentre le variabili X e Z (e quindi Y e Z) hanno una relazione inversa.<\/p>\n<p> Si noti che la matrice di covarianza \u00e8 sempre simmetrica, poich\u00e9 la covarianza tra due variabili non dipende dall&#8217;ordine delle variabili. Per esempio,<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-eba027bd1998d2c1dbe59f1b512ab953_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,Y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"82\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> \u00e8 uguale a<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-def16a63c06994394f83cdc040bea555_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(Y,X).\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"85\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Inoltre, la matrice di covarianza sar\u00e0 sempre una matrice quadrata e la sua dimensione sar\u00e0 uguale al numero di variabili. In questo caso avevamo tre variabili ed \u00e8 per questo che \u00e8 una matrice 3&#215;3, ma se avessimo avuto solo due variabili la matrice di covarianza sarebbe stata 2&#215;2. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedades-de-la-matriz-de-covarianza\"><\/span> Propriet\u00e0 della matrice di covarianza<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> La matrice di covarianza ha le seguenti caratteristiche:<\/p>\n<ul>\n<li> La matrice di covarianza \u00e8 una matrice quadrata dell&#8217;ordine del numero di variabili.<\/li>\n<li> La matrice di covarianza \u00e8 simmetrica, il che significa che la diagonale principale della matrice \u00e8 un asse di simmetria.<\/li>\n<li> La matrice di covarianza \u00e8 sempre semidefinita positiva.<\/li>\n<li> Il determinante della matrice di covarianza \u00e8 uguale o maggiore di zero.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Questo articolo spiega cos&#8217;\u00e8 la matrice di covarianza e qual \u00e8 la sua formula. 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