Due esempi di z test: definizione, formula ed esempio

Per verificare se le medie di due popolazioni sono uguali, viene utilizzato un test z su due campioni.

Questo test presuppone che la deviazione standard di ciascuna popolazione sia nota.

Questo tutorial spiega quanto segue:

• La formula per eseguire un test z su due campioni.
• Le ipotesi di uno z test a due campioni.
• Un esempio di come eseguire un test z su due campioni.

Andiamo!

Due campioni del test Z: formula

Un test z a due campioni utilizza le seguenti ipotesi nulle e alternative:

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (le due medie della popolazione sono uguali)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (le due medie della popolazione non sono uguali)

Usiamo la seguente formula per calcolare la statistica z-test:

z = ( X ₁ – X ₂ ) / √ σ ₁ ² /n ₁ + σ ₂ ² /n ₂ )

Oro:

• x ₁ , x ₂ : medie campionarie
• σ ₁ , σ ₂ : deviazioni standard della popolazione
• _n1 , _n2 : dimensioni del campione

Se il valore p che corrisponde alla statistica z-test è inferiore al livello di significatività scelto (le scelte comuni sono 0,10, 0,05 e 0,01), è possibile rifiutare l’ipotesi nulla .

Due esempi di Z test: ipotesi

Affinché i risultati di un test z su due campioni siano validi, devono essere soddisfatte le seguenti ipotesi:

• I dati per ciascuna popolazione sono continui (e non discreti).
• Ciascun campione è un campione casuale semplice della popolazione di interesse.
• I dati per ciascuna popolazione sono approssimativamente distribuiti normalmente .
• Le deviazioni standard della popolazione sono note.

Test Z a due campioni : esempio

Supponiamo che i livelli di QI degli individui di due città diverse siano distribuiti normalmente, ciascuno con deviazioni standard della popolazione pari a 15.

Uno scienziato vuole sapere se il livello medio di QI degli individui nella città A e nella città B è diverso. Quindi seleziona un semplice campione casuale di 20 individui da ciascuna città e registra i loro livelli di QI.

Per verificarlo, eseguirà un test z su due campioni con un livello di significatività α = 0,05 utilizzando i seguenti passaggi:

Passaggio 1: raccogliere dati di esempio.

Supponiamo che raccolga due semplici campioni casuali con le seguenti informazioni:

• x ₁ (QI medio del campione 1) = 100,65
• n ₁ (dimensione del campione 1) = 20
• x ₂ (QI medio del campione 2) = 108,8
• n ₂ (dimensione del campione 2) = 20

Passaggio 2: definire le ipotesi.

Eseguirà i due esempi di z-test con le seguenti ipotesi:

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (le due medie della popolazione sono uguali)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (le due medie della popolazione non sono uguali)

Passaggio 3: calcolare la statistica z-test.

La statistica del test z viene calcolata come segue:

• z = ( X ₁ – X ₂ ) / √ σ ₁ ² /n ₁ + σ ₂ ² /n ₂ )
• z = (100,65-108,8) / √ 15 ² /20 + 15 ² /20)
• z = -1,718

Passaggio 4: calcolare il valore p della statistica z-test.

Secondo il calcolatore del punteggio Z al valore P, il valore p a due code associato a z = -1,718 è 0,0858 .

Passaggio 5: trarre una conclusione.

Poiché il valore p (0,0858) non è inferiore al livello di significatività (0,05), lo scienziato non riuscirà a rifiutare l’ipotesi nulla.

Non ci sono prove sufficienti per affermare che il livello medio del QI sia diverso tra le due popolazioni.

Nota: è anche possibile eseguire l’intero test Z a due campioni utilizzando il calcolatore del test Z a due campioni.

Risorse addizionali

I seguenti tutorial spiegano come eseguire un test z a due campioni utilizzando diversi software statistici:

Come eseguire i test Z in Excel
Come eseguire i test Z in R
Come eseguire i test Z in Python