Test z a due proporzioni: definizione, formula ed esempio

Un test z a due proporzioni viene utilizzato per verificare la differenza tra due proporzioni della popolazione.

Questo tutorial spiega quanto segue:

• La motivazione per eseguire uno z-test a due proporzioni.
• La formula per eseguire un test z a due proporzioni.
• Un esempio di come eseguire uno z-test a due proporzioni.

Test Z a due proporzioni: motivazione

Supponiamo di voler sapere se esiste una differenza tra la proporzione di residenti che sostengono una determinata legge nella Contea A e la proporzione di residenti che sostengono la legge nella Contea B.

Dato che ci sono migliaia di residenti in ogni contea, sarebbe troppo dispendioso in termini di tempo e denaro andare in giro ed esaminare ogni singolo residente in ciascuna contea.

Invece, potremmo prendere un semplice campione casuale di residenti di ciascuna contea e utilizzare la proporzione a favore della legge in ciascun campione per stimare la vera differenza nelle proporzioni tra le due contee:

Tuttavia, è praticamente garantito che la percentuale di residenti favorevoli alla legge sarà almeno leggermente diversa tra i due campioni. La questione è se questa differenza sia statisticamente significativa . Fortunatamente, uno z-test a due proporzioni ci consente di rispondere a questa domanda.

Test Z a due proporzioni: formula

Un test z a due proporzioni utilizza sempre la seguente ipotesi nulla:

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (le due proporzioni della popolazione sono uguali)

L’ipotesi alternativa può essere bilaterale, sinistra o destra:

• H ₁ (a due code): π ₁ ≠ π ₂ (le due proporzioni della popolazione non sono uguali)
• H ₁ (a sinistra): π ₁ < π ₂ (la proporzione della popolazione 1 è inferiore alla proporzione della popolazione 2)
• H ₁ (a destra): π ₁ > π ₂ (la proporzione della popolazione 1 è maggiore della proporzione della popolazione 2)

Usiamo la seguente formula per calcolare la statistica del test z:

z = (p ₁ -p ₂ ) / √ p(1-p)(1/n ₁ +1/n ₂ )

dove p ₁ e p ₂ sono le proporzioni del campione, n ₁ e n ₂ sono le dimensioni del campione e dove p è la proporzione totale aggregata calcolata come segue:

p = ( _p1n1 + _p2n2 )/ _{( n1} + _{n2 )}

Se il valore p che corrisponde alla statistica del test z è inferiore al livello di significatività scelto (le scelte comuni sono 0,10, 0,05 e 0,01), è possibile rifiutare l’ipotesi nulla.

Test Z con due proporzioni : esempio

Supponiamo di voler sapere se esiste una differenza tra la proporzione di residenti che sostengono una determinata legge nella Contea A e la proporzione di residenti che sostengono la legge nella Contea B.

Per verificarlo, eseguiremo un test z a due proporzioni al livello di significatività α = 0,05 utilizzando i seguenti passaggi:

Passaggio 1: raccogliere dati di esempio.

Supponiamo di raccogliere un campione casuale di residenti da ciascuna contea e di ottenere le seguenti informazioni:

Esempio 1:

• Dimensione del campione n ₁ = 50
• Proporzione a favore della legge p ₁ = 0,67

Esempio 2:

• Dimensione del campione _n2 = 50
• Proporzione a favore della legge p ₂ = 0,57

Passaggio 2: definire le ipotesi.

Effettueremo il test z a due proporzioni con le seguenti ipotesi:

• H ₀ : π ₁ = π ₂ (le due proporzioni della popolazione sono uguali)
• H ₁ : π ₁ ≠ π ₂ (le due proporzioni della popolazione non sono uguali)

Passaggio 3: calcolare la statistica del test z .

Innanzitutto, calcoleremo la proporzione totale del pool:

p = (p ₁ n ₁ + p ₂ n ₂ )/(n ₁ + n ₂ ) = (0,67(50) + 0,57(50))/(50+50) = 0,62

Successivamente, calcoleremo la statistica del test z :

z = (p ₁ -p ₂ ) / √ p(1-p)(1/n ₁ +1/n ₂ ) = (.67-.57) / √ .62(1-.62)(1/50 + 1/50 ) = 1,03

Passaggio 4: calcolare il valore p della statistica del test z .

Secondo il calcolatore del punteggio Z del valore P, il valore p a due code associato a z = 1,03 è 0,30301 .

Passaggio 5: trarre una conclusione.

Poiché questo valore p non è inferiore al nostro livello di significatività α = 0,05, non riusciamo a rifiutare l’ipotesi nulla. Non abbiamo prove sufficienti per affermare che la percentuale di residenti a favore di questa legge sia diversa tra le due contee.

Nota: è anche possibile eseguire l’intero test Z a due proporzioni semplicemente utilizzando il calcolatore del test Z a due proporzioni .

Risorse addizionali

I seguenti tutorial spiegano come eseguire un test z a due proporzioni utilizzando vari software statistici:

Come eseguire un test Z a due proporzioni in Excel
Come eseguire un test Z a due proporzioni in SAS
Calcolatore del test Z a due proporzioni