イベントを伴う操作
ここでは、イベントを使用してどのような操作を実行できるか、およびイベントを使用した各タイプの操作がどのように計算されるかを説明します。さらに、イベントを使用した操作について段階的な演習を行うことができます。
イベントを伴う操作の種類
確率理論では、イベントに対する操作には次の 3 種類があります。
- イベントの結合: あるイベントまたは別のイベントが発生する確率です。
- イベントの交差: これは 2 つ以上のイベントの結合確率です。
- イベント差: これは、1 つのイベントが発生するが、別のイベントが同時に発生しない確率です。
それぞれのイベント操作を定義するだけでは、それぞれの操作がどのように実行されるかを理解するのは困難です。したがって、以下では 3 つの操作について詳しく説明します。
出来事の結合
2 つのイベント A と B の和集合は、イベント A、イベント B、または両方のイベントが同時に発生する確率です。
2 つの異なるイベントの結合を表す記号は U であるため、2 つのイベントの結合は、イベントを表す 2 つの文字の中央にある U によって表されます。
2 つのイベントが結合する確率は、各イベントの発生確率の合計から 2 つのイベントが交差する確率を引いたものに等しくなります。
たとえば、サイコロを振るときに「偶数が出る」または「4より大きい数が出る」というイベントが発生する確率を計算します。
サイコロを振るときに偶数が出る可能性は 3 つあります (2、4、6)。したがって、イベントが発生する確率は次のようになります。
一方、4 より大きい数は 2 つだけ (5 と 6) であるため、その確率は次のようになります。
2 つのイベントの交差部分は、両方のイベントに出現する数字に対応するため、次のようになります。
つまり、事象 A と事象 B を結合すると、発生確率は次のようになります。
![\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09c6f02f4584314058aaadd171152410_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
出来事の交差点
2 つのイベント A と B の交差は、両方のイベント A と B が同時に発生する確率です。
2 つのイベントの交差点の記号は、逆 U で表されます。
2 つのイベントが交差する確率は、各イベントの個別の確率の積に等しくなります。
明らかに、2 つのイベントが交差する確率を計算するには、これら 2 つのイベントに互換性がなければなりません。
例として、サイコロを振るときに「偶数が出る」イベントと「4 より大きい数が出る」イベントが交差する確率を求めます。
上で計算したように、各イベントが個別に発生する確率は次のようになります。
したがって、2 つのイベントが交差する確率は、各イベントの確率の乗算になります。
![\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,5\cdot 0,33\\[2ex] &=0,167\end{aligned}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-467241b200c59905ecdcb42d834bc7ba_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
出来事の違い
2 つの事象 A から B を引いた差は、B にはない A のすべての要素事象に対応します。言い換えれば、2 つの事象 A から B を引いた差では、事象 A は満たされますが、事象 B は同時に満たされることはありません。
2 つのイベント A と B の差の確率は、イベント A の発生確率から A と B に共有される要素イベントの発生確率を引いたものに等しくなります。
前の 2 種類の操作と同じ例に従い、サイコロを振ったときに「偶数の数字が得られた」イベントから「4 より大きい数字が得られた」イベントの差から、これが起こる確率を求めます。
イベント A、B、およびそれらの交差が発生する確率は次のとおりです (上記の詳細な計算を参照してください)。
したがって、2 つのイベントの差が現れる確率は次のようになります。
![\begin{aligned}P(A-B)&=P(A)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5-0,167\\[2ex] & =0,33\end{aligned}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7aed40cdbbe256ec9b19c670f1d7607_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
興味深いことに、イベント AB の差は、イベント A と補完的な (または反対の) イベント B との共通部分にも等しいという性質があります。
イベントを伴う操作に関する演習を解決しました
演習 1
6 面体のサイコロを振った場合、奇数または 3 より小さい数が出る確率はどれくらいですか?
この演習では、1 つのイベントまたは別のイベントが発生する確率を計算する必要があるため、2 つのイベントが結合する確率を見つける必要があります。
したがって、最初にラプラスの法則を適用して奇数を取得する確率を計算します。
次に、3 未満の数値が得られる確率を決定します。
ここで、イベント内で繰り返される基本イベントの確率を計算してみましょう。これは数値 1 のみ (3 未満の奇数のみ) です。
そして最後に、2 つのイベントの和集合の公式を適用して、それらの確率を求めます。
演習 2
箱の中にオレンジ色のボール3個、青いボール2個、白いボール5個を入れます。ボールを拾い上げて箱に戻し、次に別のボールを取り出すというランダムな実験を行います。 1 回目に青いボールを引き、2 回目にオレンジ色のボールを引く確率はどれくらいですか?
この問題を解決するには、両方の基本イベントが true であることが必要なため、2 つのイベントの交差を計算する必要があります。
したがって、最初にラプラスの法則を適用して、青いボールをキャッチする確率を計算します。
次に、オレンジ色のボールを取得する確率を求めます。
そして最後に、見つかった 2 つの確率を乗算して、2 つのイベントが交差する確率を計算します。
![\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,2\cdot 0,3\\[2ex] &=0,06\end{aligned}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cfcbe0cbee264116460aa623fe22b8f4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
結論として、最初の試行で青いボールをキャッチし、2 回目の試行でオレンジのボールをキャッチできる確率はわずか 6% です。
演習 3
マルタが試験に合格する確率は 1/3 で、フアンが同じ試験に合格する確率は 2/5 です。マルタが成功し、フアンが失敗する確率はどれくらいですか?
この演習では、マルタには承認してもらいたいがフアンには承認してほしくないため、2 つのイベントの差を計算する必要があります。これを行うには、このタイプのイベント操作の式を使用するだけです。
![\begin{array}{l}\displaystyle A-B =A\cap\overline{B}=\\[2ex]\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \left(1-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}=\\[3ex] =\cfrac{3}{15} = 0,2\end{array}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d0e95b0b85a9436f42caf8eaa44f2a38_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
したがって、マルタが成功し、フアンが同時に失敗する確率は 20% です。
著者について
ベンジャミン・アンダーソン博士
私はベンジャミンです。退職した統計教授から、専任の Statorials 教育者になりました。 統計分野における豊富な経験と専門知識を活かして、私は Statorials を通じて学生に力を与えるために自分の知識を共有することに尽力しています。もっと知る