コントラスト統計

によるベンジャミン・アンダーソン博士 8月 3, 2023 統計 0コメント

この記事では、コントラスト統計とは何か、コントラスト統計の最も一般的な式とは何か、さらにコントラスト統計、拒否領域、許容領域の関係について説明します。

コントラスト統計とは何ですか?

コントラスト統計量は、研究仮説に関連する既知の確率分布を持つ変数です。具体的には、対照統計量は、帰無仮説を棄却または受け入れるための仮説検定で使用されます。

実際、仮説検定の帰無仮説を棄却するかどうかの決定は、検定統計量の値に基づいて行われます。検定統計量の値が棄却領域に収まる場合、帰無仮説は棄却されます。一方、検定統計量の値が許容範囲内にある場合は、帰無仮説が受け入れられます。

➤参照:仮説検定 (統計)

コントラスト統計の公式

仮説検定の種類に応じて、検定統計量の分布は異なります。したがって、検定統計量の式も仮説検定の種類によって異なります。次に、仮説検定の種類に応じて検定統計量がどのように計算されるかを見ていきます。

平均のコントラスト統計

分散が既知の平均に対する仮説検定統計量の式は次のとおりです。

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

金：

$Z$

は平均に対する仮説検定統計量です。
$\overline{x}$

はサンプル平均です。
$\mu$

は提案された平均値です。
$\sigma$

は母集団の標準偏差です。
$n$

はサンプルサイズです。

平均に対する仮説対比統計が計算されると、その結果は帰無仮説を棄却または棄却すると解釈される必要があります。

平均値の仮説検定が両側である場合、統計量の絶対値が臨界値 Z _α/2より大きい場合、帰無仮説は棄却されます。
平均の仮説検定が右裾に一致する場合、統計量が臨界値 Z _αより大きい場合、帰無仮説は棄却されます。
平均の仮説検定が左裾に一致する場合、統計量が臨界値 -Z _αより小さい場合、帰無仮説は棄却されます。

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

この場合、臨界値は標準化正規分布表から取得されます。

一方、分散が不明な平均に対する仮説検定統計量の式は次のとおりです。

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

金：

$t$

は平均の仮説検定統計量であり、スチューデントの t 分布によって定義されます。
$\overline{x}$

はサンプル平均です。
$\mu$

は提案された平均値です。
$s$

は標本標準偏差です。
$n$

はサンプルサイズです。

前と同様に、帰無仮説を棄却するかどうかを判断するには、コントラスト統計量の計算結果を臨界値で解釈する必要があります。

平均値の仮説検定が両側である場合、統計量の絶対値が臨界値 t _α/2|n-1より大きい場合、帰無仮説は棄却されます。
平均の仮説検定が右裾に一致する場合、統計量が臨界値 t _α|n-1より大きい場合、帰無仮説は棄却されます。
平均の仮説検定が左裾に一致する場合、統計量が臨界値 -t _α|n-1より小さい場合、帰無仮説は棄却されます。

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

分散が不明な場合、臨界検定値はスチューデントの分布表から取得されます。

➤参照:平均値の仮説検定

比率のコントラスト統計

割合の仮説検定統計量の式は次のとおりです。

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

金：

$Z$

は、割合の仮説検定統計量です。
$\widehat{p}$

はサンプルの割合です。
$p$

提案された比率の値です。
$n$

はサンプルサイズです。
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

は比率の標準偏差です。

比率の仮説検定統計量を計算するだけでは十分ではなく、結果を解釈する必要があることに注意してください。

比率の仮説検定が両側である場合、統計量の絶対値が臨界値 Z _α/2より大きい場合、帰無仮説は棄却されます。
比率の仮説検定が右裾に一致する場合、統計量が臨界値 Z _αより大きい場合、帰無仮説は棄却されます。
割合の仮説検定が左裾に一致する場合、統計量が臨界値 -Z _αより小さい場合、帰無仮説は棄却されます。

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

臨界値は標準正規分布表から簡単に取得できることを覚えておいてください。

➤参照:比率の仮説検定

分散の対比統計

分散の仮説検定統計量を計算する式は次のとおりです。

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

金：

$\chi^2$

は分散の仮説検定統計量であり、カイ二乗分布を持ちます。
$n$

はサンプルサイズです。
$s^2$

は標本分散です。
$\sigma^2$

は、提案された母集団の分散です。

統計の結果を解釈するには、得られた値をテストの臨界値と比較する必要があります。

分散の仮説検定が両側検定である場合、統計量が臨界値より大きい場合、帰無仮説は棄却されます。
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

またはクリティカル値が以下の場合

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

。
分散の仮説検定が右裾に一致する場合、統計量が臨界値より大きい場合、帰無仮説は棄却されます。
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

。
分散の仮説検定が左裾に一致する場合、統計量が臨界値未満であれば帰無仮説は棄却されます。
$\chi_{\alpha|n-1}$

。

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

分散の重要仮説検定値は、カイ二乗分布表から取得されます。カイ二乗分布の自由度はサンプルサイズから 1 を引いたものであることに注意してください。

➤参照:分散仮説検定

コントラスト統計量、拒否領域および許容領域

仮説検定では、棄却領域は、帰無仮説の棄却 (および対立仮説の受け入れ) を意味する検定統計量の分布のグラフの領域です。一方、受容領域は、帰無仮説の受容 (および対立仮説の棄却) を意味する検定統計量の分布グラフの領域です。

したがって、コントラスト統計の値は、次のように仮説検定の結果を決定します。

検定統計量が棄却領域内にある場合、帰無仮説は棄却され、対立仮説が受け入れられます。
検定統計量が許容範囲内にある場合、帰無仮説は受け入れられ、対立仮説は棄却されます。

拒否領域と許容領域を分ける値は臨界値と呼ばれます。したがって、棄却領域と受容領域の境界を知り、帰無仮説をいつ棄却し、いつ受け入れるかを知るために臨界値を計算する必要があります。

➤参照:クリティカル値

著者について

ベンジャミン・アンダーソン博士

私はベンジャミンです。退職した統計教授から、専任の Statorials 教育者になりました。統計分野における豊富な経験と専門知識を活かして、私は Statorials を通じて学生に力を与えるために自分の知識を共有することに尽力しています。もっと知る