加重平均

によるベンジャミン・アンダーソン博士 8月 6, 2023 統計 0コメント

ここでは加重平均とは何か、またその計算方法について説明します。加重平均を求める方法については、解決済みの演習をご覧ください。さらに、最後にある計算機を使用して、任意のデータセットの加重平均を計算できます。

加重平均とは何ですか?

加重平均は、記述統計の中心性の尺度です。加重平均を計算するには、まず各統計データにその重み (または重み) を乗算し、次にすべての積を加算し、最後に重み付き合計をすべての重みの合計で除算する必要があります。

つまり、加重平均の式は次のようになります。

ここで、x _{i は}各データサンプルを表し、w _{i は}それに対応する重みを表します。

したがって、データの重みが大きいほど、加重平均の計算における重要性が高くなります。言い換えれば、データの重み付けが高くなるほど、加重平均の結果に与える影響も大きくなります。

加重平均は、コース中に受けた演習や試験をさまざまな重要性で評価できるため、成績の計算に特に役立ちます。加重平均は、母集団の物価を測定する指標である CPI (消費者物価指数) の計算にも使用されます。

加重平均以外にも、幾何平均、算術平均、二乗平均、調和平均などの他の種類の平均もあります。

加重平均の計算方法

加重平均を計算するには、次の手順に従う必要があります。

各統計データに対応する重みを掛けます。
前のステップで計算されたすべての積を合計します。
上記の加重合計をすべての加重の合計で割ります。
得られる結果は、統計サンプルの加重平均です。

👉以下の計算機を使用して、任意のデータセットの加重平均を計算できます。

加重平均の例

加重平均の定義を考慮して、一連のデータから加重平均がどのように取得されるかを完全に理解するために演習を解いてみます。

高校1年生の数学科目の成績は、部分試験で30％の7、グループワークで20％の9、授業で重み付けをして行う演習で6でした。 10% で、40% の重みをもつ最終試験では 8 となります。その科目の最終成績は何点ですか?

生徒の得点を決定するには、ステートメントで指定された値の加重平均を見つける必要があります。これを行うには、加重平均の式を適用します。

$\overline{x_p}=\cfrac{\sum_{i=1}^N x_i\cdot w_i}{\sum_{i=1}^N w_i}=\cfrac{x_1\cdot w_1+x_2\cdot w_2+x_3\cdot w_3+x_4\cdot w_4+x_5\cdot w_5}{w_1+w_2+w_3+w_4+w_5}$

各成果物のスコアは統計値であり、そのパーセンテージはその値の重みに対応します。したがって、値と重みを式に代入し、加重平均計算を実行します。

$\overline{x_p}=\cfrac{7\cdot 0,30+9\cdot 0,20+6\cdot 0,10+8\cdot 0,40}{0,30+0,20+0,10+0,40}=7,7$

したがって、この生徒の数学の最終成績は 7.7 になります。これは加重平均から得られた結果であるためです。

加重平均計算機

統計サンプルのデータとそれぞれの重みを以下の計算機に入力して、加重平均を計算します。

最初のボックスに統計データを入力し、2 番目のボックスにそれぞれの重みを入力します。重みはデータと同じ順序で 10 進形式で記述する必要があります。すべての数値はスペースで区切られ、小数点区切り文字としてピリオドを使用して入力する必要があります。

標準化された分銅

これまで見てきたように、加重平均では、重みは、多かれ少なかれ重要性を与えるために各データに与えられる値です。したがって、情報が非常に重要である場合、その重みは非常に高くなりますが、情報があまり関連性がない場合、重みは非常に低くなります。

正規化重みは、除算を行わずに加重平均を取得するために使用される重み付けの一種です。

正規化された重みは、データ項目の重みをすべての重みの合計で割ったものです。

$w_i'=\cfrac{w_i}{\sum_{k=1}^N w_k}$

したがって、すべての正規化された重みの合計は 1 に等しくなります。

$\sum_{i=1}^N w_i'=1$

したがって、正規化された重みを使用して加重平均を計算するには、各データ項目に正規化された重みを乗算するだけです。

$\displaystyle\overline{x_p}=\sum_{i=1}^N x_i\cdot w_i'=x_1\cdot w_1'+x_2\cdot w_2'+\dots+x_N\cdot w_N'$

たとえば、データが 24、35、17、41 で、それぞれの重みが 4、9、6、3 である統計サンプルがあります。このデータセットの加重平均を求めるには、まず次の除算によって正規化された重みを計算します。各重みをすべての重みの合計で計算します。

$\cfrac{4}{4+9+6+3}=0,18$

$\cfrac{9}{4+9+6+3}=0,41$

$\cfrac{6}{4+9+6+3}=0,27$

$\cfrac{3}{4+9+6+3}=0,14$

各データに正規化された重みを乗算すると、結果が加重平均になります。

$\overline{x_p}=24\cdot 0,18+35\cdot 0,41+17\cdot 0,27+41\cdot 0,14=28,91$

加重平均と算術平均の違い

加重平均と算術平均の計算は、同様の演算を実行する必要があるため、同じ方法で実行されます。加重平均では、各データポイントにその重みが乗算され、重みの合計で除算されますが、算術平均では、すべてのデータが加算され、データポイントの総数で除算されます。

加重平均と算術平均の違いはその概念にあり、算術平均ではすべてのデータが同じ値を持つと見なされますが、加重平均では各データの重みが異なります。

すべての重みが等しい場合、加重平均は算術平均と同等であることに注意してください。以下に数学的証明を示します。

$\begin{aligned}\overline{x_p}&=\cfrac{x_1\cdot w+x_2\cdot w+x_3\cdot w+\dots+x_N\cdot w}{w+w+w+\dots +w}\\[2ex]&= \cfrac{w\cdot (x_1+x_2+\dots+x_N)}{N\cdot w}=\\[2ex] &= \cfrac{x_1+x_2+\dots+x_N}{N}=\overline{x}\end{aligned}$

著者について

ベンジャミン・アンダーソン博士

私はベンジャミンです。退職した統計教授から、専任の Statorials 教育者になりました。統計分野における豊富な経験と専門知識を活かして、私は Statorials を通じて学生に力を与えるために自分の知識を共有することに尽力しています。もっと知る