ベルヌーイ分布

この記事では、ベルヌーイ分布とは何か、またその公式が何であるかを説明します。さらに、ベルヌーイ分布の特性と、その意味をより深く理解するための解決済み演習も見つかります。

ベルヌーイ分布とは何ですか?

二分分布としても知られるベルヌーイ分布は、「成功」または「失敗」という 2 つの結果のみを持つことができる離散変数を表す確率分布です。

ベルヌーイ分布では、「成功」は期待される結果であり、値は 1 ですが、「失敗」は期待以外の結果であり、値は 0 です。つまり、「」の結果の確率が「成功」がpである場合、「失敗」の結果の確率はq=1-pです。

\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}

ベルヌーイ分布は、スイスの統計学者ジェイコブ ベルヌーイにちなんで命名されました。

統計学では、ベルヌーイ分布には主に 1 つの用途があります。それは、成功と失敗の 2 つの結果しか存在しない実験の確率を定義することです。したがって、ベルヌーイ分布を使用する実験は、ベルヌーイ テストまたはベルヌーイ実験と呼ばれます。

ベルヌーイ分布式

pが「成功」という結果が発生する確率である場合、ベルヌーイ分布の確率は、 p をxに累乗した値に1-pを累乗した1-x を乗算した値に等しくなります。したがって、ベルヌーイ分布の確率は次の式を使用して計算できます

ベルヌーイ分布式

ベルヌーイ分布では、 xの値は 0 (失敗) または 1 (成功) のみであることに注意してください。

一方、前の式は次の等価式を使用して書くこともできます。

 \displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

ベルヌーイ分布の例

ベルヌーイ分布の定義とその公式がわかったところで、ベルヌーイ分布の具体的な例を見てみましょう。

  • ゲームに勝つには、プレーヤーはサイコロを振って 2 を出さなければなりません。そうでない場合は、別のプレーヤーがゲームに勝つため、ゲームは負けます。成功と失敗の確率を計算します。

サイコロには 6 つの可能な結果 (1、2、3、4、5、6) があるため、この場合、実験のサンプル空間は次のようになります。

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

この場合、成功する唯一のケースは 2 番を取得することなので、ラプラスの法則を適用した場合の成功確率は、1 を考えられる結果の総数で割った値 (6) に等しくなります。

p=\cfrac{1}{6}=0,1667

一方、サイコロを振って別の数字が出た場合、プレイヤーはゲームに負けるため、実験の結果は失敗とみなされます。したがって、この確率は、前に計算した確率を 1 から引いたものに相当します。

q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333

つまり、この実験のベルヌーイ分布は次の式で定義されます。

 \displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.

以下に示すように、ベルヌーイ分布の確率は、上記の公式を適用することによっても求めることができます。

P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}

\displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}

\displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}

ベルヌーイ分布の特徴

以下に、ベルヌーイ分布の最も重要な特徴を示します。

  • ベルヌーイ分布は、値 1 (成功) または 0 (失敗) のみを取ることができます。

x=\{0\ ; 1\}

  • ベルヌーイ分布の平均は、「成功」結果の発生確率に相当します。

E[X]=p

  • ベルヌーイ分布の分散は、結果「成功」と「失敗」の発生確率を乗算することで計算できます。または、同等に、分散はp1-pです。

Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)

  • ベルヌーイ分布のモードの値は、「成功」と「失敗」の確率に依存します。したがって、このタイプの分布のモードは次の式で定義されます。
 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

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  • 一方、ベルヌーイ分布の累積確率関数は次の式で定義されます。

 \displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x<0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x<1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.

  • ベルヌーイ分布の非対称係数は次の式で計算されます。

A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}

  • 同様に、ベルヌーイ分布の尖度はパラメーターpの値に依存し、次の式を適用することで求めることができます。

C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}

ベルヌーイ分布と二項分布

このセクションでは、ベルヌーイ分布と二項分布は関連する 2 種類の確率分布であるため、両者の違いを見ていきます。

二項分布は、一連のベルヌーイ試行から得られた「成功」結果の数をカウントします。これらのベルヌーイ実験は独立している必要がありますが、成功の確率が同じでなければなりません。

したがって、二項分布は、ベルヌーイ分布に従う一連の変数の合計であり、すべて同じパラメーターpによって定義されます。

\begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}

したがって、ベルヌーイ分布ではベルヌーイ実験が 1 つだけ存在しますが、二項分布では一連のベルヌーイ実験が存在します。

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