二項分布とポアソン分布: 類似点と相違点

統計における 2 つの類似した分布は、二項分布とポアソン分布です。

このチュートリアルでは、各ディストリビューションの簡単な説明と、2 つのディストリビューションの類似点と相違点について説明します。

二項分布

二項分布は、 n回の二項実験でk回の成功が得られる確率を表します。

確率変数X が二項分布に従う場合、 X = kが成功する確率は次の式で求められます。

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

金：

• n:試行回数
• k:成功回数
• p:与えられた試行の成功確率
• _n C _k : n回の試行でk 個の成功を得る方法の数

たとえば、コインを3回投げたとします。上記の式を使用して、これら 3 回のフリップ中に表が 0 になる確率を決定できます。

P(X=0) = ₃ C ₀ * 0.5 ⁰ * (1-0.5) ^3-0 = 1 * 1 * (0.5) ³ = 0.125

魚の分布

ポアソン分布は、一定の時間間隔中にk 個のイベントが発生する確率を表します。

確率変数X がポアソン分布に従う場合、 X = k個のイベントが発生する確率は次の式で求められます。

P(X=k) = λ ^k * e ^{– λ} / k!

金：

• λ:特定の間隔中に発生した成功の平均数
• k:成功回数
• e:約 2.71828 に等しい定数

たとえば、特定の病院で 1 時間あたり平均 2 件の出産があったとします。上記の式を使用して、特定の 1 時間に 3 回の出産が起こる確率を求めることができます。

P(X=3) = 2 ³ * e ^{– 2} / 3! = 0.18045

類似点と相違点

二項分布とポアソン分布には次の類似点があります。

• どちらの分布も、イベントの発生数をモデル化するために使用できます。
• どちらの分布でも、イベントは独立していると想定されています。

これらのディストリビューションには次の重要な違いがあります。

• 二項分布では、試行回数が固定されています (例: コインを 3 回投げます)。
• ポアソン分布では、特定の時間間隔内に任意の数のイベントが発生する可能性があります (たとえば、特定の 1 時間に何人の顧客が店舗に到着しますか?)。

実際的な問題: 各ディストリビューションをいつ使用するか

次のそれぞれの練習問題で、確率変数が二項分布に従うかポアソン分布に従うかを判断します。

問題 1: ネットワークの停止

あるテクノロジー企業は、特定の週に一定数のネットワーク停止が発生する確率をモデル化したいと考えています。平均して毎週 4 回のネットワーク停止が発生することがわかっているとします。 Xを特定の週のネットワーク停止の数とします。確率変数Xはどのような種類の分布に従いますか?

回答: 試行回数が固定されていないため、これは二項分布ではありません。

問題 2: フリースローを撃つ

タイラーはフリースローを試みる際、その70％を成功させている。彼がフリースローを10本成功させたとします。タイラーが 10 回の試行中にバスケットを作った回数をXとします。確率変数Xはどのような種類の分布に従いますか?

答え：

追加リソース

二項分布計算機
魚の分布計算機