二項実験: 説明と例

二項実験を理解することは、二項分布を理解するための第一歩です。

このチュートリアルでは、二項実験を定義し、二項実験とみなされる実験とみなされない実験の例をいくつか示します。

二項実験: 定義

二項実験とは、次の 4 つの特性を持つ実験です。

1. 実験はn回繰り返される試行で構成されます。数値n は任意の値にすることができます。たとえば、コインを 100 回投げると、 n = 100 となります。

2. 各試験では 2 つの結果しか考えられません。私たちはよく結果を「成功」または「失敗」と呼びますが、「成功」は私たちが期待しているものに対する単なるラベルにすぎません。たとえば、コインを投げるとき、表が「当たり」、裏が「失敗」と呼ぶことがあります。

3. pで示される成功の確率は、各試行で同じです。実験が真の二項実験であるためには、「成功」の確率が各試行で同じでなければなりません。たとえば、コインを投げるとき、表が出る確率 (「成功」) は、コインを投げるたびに常に同じです。

4. 各テストは独立しています。これは単に、ある試験の結果が別の試験の結果に影響を与えないことを意味します。たとえば、コインを投げて表が出たとします。表に着地しても、次のスローで表に着地する確率は変わりません。各フリップ (つまり、各「トライアル」) は独立しています。

二項実験の例

以下の実験はすべて二項実験の例です。

例1

コインを10回投げます。尻尾を着地させた回数を記録します。

次の 4 つの特性があるため、これは二項実験です。

• 実験はn回繰り返される試行で構成されます。この場合、試行回数は 10 回です。
• 各トライアルで考えられる結果は 2 つだけです。コインは表か裏にのみ着地できます。
• 成功の確率は各試行で同じです。 「成功」を頭から着地することと定義すると、各試行の成功確率はちょうど 0.5 です。
• 各テストは独立しています。 1 つの引き分けの結果は、他の引き分けの結果には影響しません。

例2

きれいな6面サイコロを20回振ります。 2 が出現した回数を記録します。

次の 4 つの特性があるため、これは二項実験です。

• 実験はn回繰り返される試行で構成されます。この場合、試行回数は 20 回です。
• 各トライアルで考えられる結果は 2 つだけです。 2 を「成功」と定義すると、サイコロが出るたびに 2 (成功) か別の数字 (失敗) のいずれかになります。
• 成功の確率は各試行で同じです。各試行で、サイコロが 2 になる確率は 1/6 です。この確率は試行ごとに変わりません。
• 各テストは独立しています。ダイスロールの結果は、他のダイスロールの結果に影響を与えません。

例3

タイラーはフリースロー試投の 70% を成功させます。彼が 15 回試行したとします。彼が作ったバスケットの数を記録します。

次の 4 つの特性があるため、これは二項実験です。

• 実験はn回繰り返される試行で構成されます。この場合、試行回数は 15 回です。
• 各トライアルで考えられる結果は 2 つだけです。試みるたびに、タイラーはバスケットを成功させるか失敗するかのどちらかです。
• 成功の確率は各試行で同じです。試行ごとに、タイラーがバスケットに入る確率は 70% です。この確率は試行ごとに変わりません。
• 各テストは独立しています。フリースロー試行の結果は、他のフリースロー試行の結果には影響しません。

二項実験ではない例

例1

100 人に何歳かを尋ねます。

考えられる結果が 3 つ以上あるため、これは二項実験ではありません。

例2

5 が出るまで公平な 6 面ダイスを振ります。

事前に定義された試行数nがないため、これは二項実験ではありません。 5 が出るまで何回出るかわかりません。

例3

トランプから5枚のカードを引きます。

1 つの試行の結果 (デッキから特定のカードを引くなど) がその後の試行の結果に影響するため、これは二項実験ではありません。

二項実験の例と解法

次の例は、二項実験に関する質問を解く方法を示しています。

コインを10回投げます。コインがちょうど 7 つの表を出す確率はどれくらいですか?

二項実験でn回成功する確率を知りたいときは、次の式を使用する必要があります。

P(ちょうどk回の成功) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

金：

• n:試行回数
• k:成功回数
• C： 「組み合わせ」の記号
• p:与えられた試行の成功確率

これらの数値を式に挿入すると、次の結果が得られます。

P(7 ヘッド) = ₁₀ C ₇ * 0.5 ⁷ * (1-0.5) ^10-7 = (120) * (.0078125) * (.125) = 0.11719 。

したがって、コインが 7 回表になる確率は0.11719です。