信頼区間の計算方法: 3 つの問題例

平均値の信頼区間は、一定の信頼レベルで母集団平均が含まれる可能性が高い値の範囲です。

次の式を使用して平均の信頼区間を計算します。

信頼区間 = x +/- t*(s/√ n )

金：

• x :サンプル平均
• t: tの臨界値
• s:サンプルの標準偏差
• n:サンプルサイズ

注: 母集団の標準偏差 (σ) が既知で、サンプル サイズが 30 より大きい場合は、式内の at 臨界値を z 臨界値に置き換えます。

次の例は、3 つの異なるシナリオで平均の信頼区間を構築する方法を示しています。

• 母集団標準偏差 (σ) は不明です
• 母集団の標準偏差 (σ) はわかっていますが、n ≤ 30
• 母集団の標準偏差 (σ) が既知であり、n > 30

さあ行こう！

例 1: σ が不明な場合の信頼区間

特定の植物種の平均高さ (インチ単位) の 95% 信頼区間を計算するとします。

次の情報を含む単純な無作為サンプルを収集するとします。

• サンプル平均 ( x ) = 12
• サンプルサイズ (n) = 19
• サンプル標準偏差 (秒) = 6.3

次の式を使用して、この信頼区間を構築できます。

• 95% CI = x +/- t*(s/√ n )
• 95% CI = 12 +/- t _n-1、α/2 *(6.3/√ 19 )
• 95% CI = 12 +/- t _18.025 *(6.3/√ 19 )
• 95% CI = 12 +/- 2.1009*(6.3/√ 19 )
• 95% CI = (8,964, 15,037)

この特定の植物種の個体群の平均高さの 95% 信頼区間は(8.964 インチ、15.037 インチ)です。

注 #1 : 逆 t 分布計算ツールを使用して、18 の自由度と信頼水準 0.95 に関連付けられた臨界 t 値を見つけました。

注 #2 : 母集団の標準偏差 (σ) が不明であるため、信頼区間を計算する際には臨界値 t を使用しました。

例 2: σ はわかっているが n ≤ 30 の場合の信頼区間

特定の大学入学試験の平均点の 99% 信頼区間を計算したいとします。

次の情報を含む単純な無作為サンプルを収集するとします。

• サンプル平均 ( x ) = 85
• サンプルサイズ (n) = 25
• 母集団標準偏差 (σ) = 3.5

次の式を使用して、この信頼区間を構築できます。

• 99% CI = x +/- t*(s/√ n )
• 99% CI = 85 +/- t _n-1、α/2 *(3.5/√ 25 )
• 99% CI = 85 +/- t _24.005 *(3.5/√ 25 )
• 99% CI = 85 +/- 2.7969*(3.5/√ 25 )
• 99% CI = (83.042, 86.958)

この大学入学試験における母集団の平均スコアの 99% 信頼区間は(83.042, 86.958)です。

注 #1 : 逆 t 分布計算ツールを使用して、24 の自由度と信頼水準 0.99 に関連付けられた臨界 t 値を見つけました。

注 #2 : 母集団の標準偏差 (σ) はわかっていましたが、サンプル サイズ (n) が 30 未満であったため、信頼区間を計算するときに臨界値 t を使用しました。

例 3: σ が既知で、n > 30 の場合の信頼区間

特定の種のカメの平均体重の 90% 信頼区間を計算したいとします。

次の情報を含む単純な無作為サンプルを収集するとします。

• サンプル平均 ( x ) = 300
• サンプルサイズ (n) = 40
• 母集団標準偏差 (σ) = 15

次の式を使用して、この信頼区間を構築できます。

• 90% CI = x +/- z*(σ/√ n )
• 90% CI = 300 +/- 1.645*(15/√ 40 )
• 90% CI = (296,099, 303,901)

この特定のカメ種の平均個体群体重の 90% 信頼区間は(83.042, 86.958)です。

注 #1 : 臨界 Z 値計算ツールを使用して、有意水準 0.1 に関連付けられた臨界 Z 値を見つけました。

注 #2 : 母集団の標準偏差 (σ) は既知であり、サンプル サイズ (n) は 30 より大きかったため、信頼区間を計算するときに臨界値 z を使用しました。

追加リソース

次のチュートリアルでは、信頼区間に関する追加情報を提供します。

実生活における信頼区間の 4 つの例
信頼区間の結論の書き方
確認すべき 6 つの信頼区間仮説