F 分布を使用して信頼区間を作成する方法

2 つの母集団の分散が等しいかどうかを判断するには、分散比σ ² ₁ / σ ² ₂を計算できます。ここで、σ ² ₁は母集団 1 の分散、σ ² ₂は母集団 2 の分散です。

真の母集団分散比を推定するには、通常、各母集団から 単純な無作為サンプルを取得し、サンプル分散比s ₁ ² / s ₂ ²を計算します。ここで、s ₁ ²と s ₂ ²はサンプル 1 とサンプルのサンプル分散です。 。それぞれ2。

この検定は、s ₁ ²と s ₂ ^{2 が}、どちらも正規分布母集団からのサイズ n ₁と n ₂の独立したサンプルから計算されることを前提としています。

この比率が 1 から遠ざかるほど、母集団内の分散が不均等である証拠が強くなります。

σ ² ₁ / σ ² ₂の(1-α)100% 信頼区間は次のように定義されます。

(s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n 1 -1, n 2 -1, α/2} ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n 2 -1, n 1 -1、 α/2}

ここで、F _{n 2 -1、n 1 -1、α/2}および F _{n 1 -1、n 2 -1、 α/2}  は、選択された有意水準 α に対する分布 F の臨界値です。

次の例は、3 つの異なる方法を使用して σ ² ₁ / σ ² ₂の信頼区間を作成する方法を示しています。

• 手によって
• Microsoft Excelを使用する
• R統計ソフトの利用

次の各例では、次の情報を使用します。

• α = 0.05
• n ₁ = 16
• _n2 = 11
• s ₁ ² =28.2
• s ₂ ² = 19.3

信頼区間を手動で作成する

σ ² ₁ / σ ² ₂の信頼区間を手動で計算するには、得た数値を信頼区間の式に代入するだけです。

(s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n1-1, n2-1,α/2} ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n2-1, n1-1, α/2}

欠落している数値は臨界値だけです。幸いなことに、分布テーブル Fでこれらの重要な値を見つけることができます。

F _{n2-1、n1-1、α/2} = F _{10、15、0.025} = 3.0602

F _{n1-1、n2-1、 α/2} = 1/F _{15、10、0.025} = 1 / 3.5217 = 0.2839

(クリックすると表が拡大されます)

これで、すべての数値を信頼式区間に代入できます。

(s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n1-1, n2-1,α/2} ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n2-1, n1-1, α/2}

(28.2 / 19.3) * (0.2839) ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (28.2 / 19.3) * (3.0602)

0.4148 ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ 4.4714

したがって、母集団分散比の 95% 信頼区間は(0.4148, 4.4714)となります。

Excel を使用した信頼区間の作成

次の図は、Excel で母集団分散比の 95% 信頼区間を計算する方法を示しています。信頼区間の下限と上限は列 E に示され、下限と上限を求めるために使用される式は列 F に示されます。

したがって、母集団分散比の 95% 信頼区間は(0.4148, 4.4714)となります。これは、信頼区間を手動で計算したときに得られた値と一致します。

R を使用した信頼区間の作成

次のコードは、R の母集団分散比の 95% 信頼区間を計算する方法を示しています。

 #define significance level, sample sizes, and sample variances
alpha <- .05
n1 <- 16
n2 <- 11
var1 <- 28.2
var2 <- 19.3

#define F critical values
upper_crit <- 1/qf(alpha/2, n1-1, n2-1)
lower_crit <- qf(alpha/2, n2-1, n1-1)

#find confidence interval
lower_bound <- (var1/var2) * lower_crit
upper_bound <- (var1/var2) * upper_crit

#output confidence interval
paste0("(", lower_bound, ", ", upper_bound, " )")

#[1] "(0.414899337980266, 4.47137571035219 )"

したがって、母集団分散比の 95% 信頼区間は(0.4148, 4.4714)となります。これは、信頼区間を手動で計算したときに得られた値と一致します。

追加リソース

F分電盤の見方
Excelで臨界値Fを見つける方法