十分位数

によるベンジャミン・アンダーソン博士 8月 5, 2023 統計 0コメント

この記事では、十分位数とは何か、およびその計算方法について説明します。また、十分位計算の段階的な解決例もいくつかあり、さらに、オンライン計算機を使用して統計サンプルの十分位を計算することもできます。

十分位数とは何ですか?

統計において、十分位数とは、順序付けされたデータのセットを 10 等分する 9 つの値です。したがって、1 位、2 位、3 位、… はサンプルまたは母集団の 10%、20%、30% を表します。

たとえば、4 番目の十分位値はデータの 40% よりも高くなりますが、残りのデータよりは低くなります。

十分位数は大文字 D と十分位数インデックスで表されます。つまり、最初の十分位数は D ₁ 、2 番目の十分位数は D ₂ 、3 番目の十分位数は D ₃などとなります。

👉以下の計算機を使用して、任意のデータセットの十分位数を計算できます。

十分位数は、四分位数、五分位数、百分位数と同様に非中心位置の尺度であることに注意してください。これらの分位タイプのそれぞれの意味は、当社の Web サイトで確認できます。

さらに、第 5 十分位数は、データセット全体を 2 つの等しい部分に分割するため、中央値と第 2 四分位数に相当します。

十分位数の計算方法

一連の統計データの小数点位置を計算するには、データの総数に 1 を加えた合計に小数点数を乗算し、その結果を 10 で割ります。

したがって、十分位数の式は次のようになります。

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{10} \qquad k=1, 2, 3,4,5,6,7,8,9$

注意:この式は、十分位の値ではなく、十分位の位置を示します。十分位数は、式で求めた位置にあるデータとなります。

ただし、この式の結果が 10 進数になる場合があるため、結果が 10 進数であるかどうかに応じて 2 つのケースを区別する必要があります。

式の結果が小数部を除いた数値の場合、十分位は上記の式で指定された位置にあるデータです。
式の結果が小数部を含む数値である場合、十分位値は次の式を使用して計算されます。

$D=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

ここで、x _iおよびx _i+1は、最初の式で得られた数値が挟まれる位置の番号であり、 dは、最初の式で得られた数値の小数部分です。

統計サンプルの十分位を取得するのは複雑だと思うかもしれませんが、実際には非常に簡単です。次の 2 つの例を読むと、よりよく理解できるでしょう。

注: 科学界は十分位数の計算方法について完全に一致しているわけではないため、少し異なる方法で説明している統計書籍を見つけることができます。

十分位数の計算例

上で見たように、十分位の計算は、最初の式で得られる数値が 10 進数であるかどうかによって異なります。そのため、以下に 2 つの解決例を用意し、ケースごとに 1 つずつ用意しました。いずれにせよ、十分位数の構成について質問がある場合は、コメントで質問できることを覚えておいてください。

例1

次のデータを最小から最大の順に与えて、サンプルの第 1、第 3、および第 8 十分位数を見つけます。

この演習のデータはすでに並べ替えられているため、順序を変更する必要はありません。変更しない場合は、最初にデータを最小値から最大値の順に並べ替える必要があります。

上で説明したように、十分位の位置を見つけることを可能にする式は次のとおりです。

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{10} \qquad k=1,2,3,4,5,6,7,8,9$

この演習のサンプルサイズは 29 観測値であるため、最初の十分位の位置を計算するには、 nに 29 を、 kに 1 を代入する必要があります。

$\cfrac{1\cdot (29+1)}{10}=3\quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad D_1=85$

式の結果は 3 なので、最初の十分位数は順序付きリストの 3 番目の位置になり、この値は 85 に対応します。

ここで、同じ手順をもう一度適用しますが、第 3 十分位数を使用します。 k を3 に置き換える式を使用します。

$\cfrac{3\cdot (29+1)}{10}=9\quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad D_3=97$

したがって、3 番目の十分位は 9 番目の位置、つまり 97 の要素になります。

最後に、同じプロセスを実行しますが、式に 8 を入れて 8 番目の十分位を決定します。

$\cfrac{8\cdot (29+1)}{10}=24\quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad D_8=131$

8 番目の十分位数は、順序付けされたデータリストの 24 位の数値になるため、8 番目の十分位数は 131 になります。

例 2

次の表のデータから、十分位数 4、7、および 9 を計算します。

前の例と同様に、十分位の位置を取得するには、次の式を使用する必要があります。

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{10} \qquad k=1,2,3,4,5,6,7,8,9$

この場合、サンプルサイズは 42 であるため、4 番目の十分位の位置を見つけるには、パラメーターnを 42 に、 kを 4 に置き換える必要があります。

$\cfrac{4\cdot (42+1)}{10}=17,2$

ただし、今回は式から 10 進数を取得したため、正確な十分位を計算するには次の式を適用する必要があります。

$D=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

最初の式から得られる数値は 17.2 であるため、4 番目の十分位は指定された 17 番目と 18 番目の間にあり、それぞれ 109 と 112 になります。したがって、 x _iは 109、 x _i+1は 112、 dは小数部になります。得られた数値の 0.2。

$D_4=109+0,2\cdot (112-109)=109,6$

同じプロセスを繰り返して、第 7 十分位数を見つけます。まず十分位の位置を計算します。

$\cfrac{7\cdot (42+1)}{10}=30,1$

式から数値 30.1 が得られました。これは、十分位数が位置 30 と 31 の間にあり、その値が 154 と 159 であることを意味します。したがって、正確な十分位数の計算は次のようになります。

$D_7=154+0,1\cdot (159-154)=154,5$

最後に、同じ方法を再度適用して、9 十分位を取得します。十分位の位置を決定します。

$\cfrac{9\cdot (42+1)}{10}=38,7$

取得される数値は 10 進数で、38 から 39 の間であり、その位置は値 189 と 196 に対応します。したがって、十分位 9 の計算は次のようになります。

$D_9=189+0,7\cdot (196-189)=193,9$

十分位計算機

統計データセットを以下の計算機に接続して、十分位数を計算します。データはスペースで区切られ、小数点としてピリオドを使用して入力する必要があります。

グループ化されたデータの十分位数

データが間隔にグループ化されているときに十分位数を計算するには、まず次の式を使用して十分位数が該当する間隔またはビンを見つける必要があります。

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{10} \qquad k=1, 2, 3,3,4,5,6,7,8,9$

したがって、十分位数は、絶対頻度が前の式で得られた数値よりもすぐに大きい区間内にあります。

そして、十分位数が属する区間がわかったら、次の公式を適用して十分位数の正確な値を見つける必要があります。

$D_k=L_i+\cfrac{\displaystyle\frac{k\cdot (n+1)}{10}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i \qquad k=1,2,3,4,5,6,7,8,9$

金：

Ｌ _{ｉは}、十分位が位置する区間の下限である。
nは統計データの総数です。
F _i-1は、前の間隔の累積絶対頻度です。
f _iは、十分位が位置する区間の絶対周波数です。
I _iは十分位数間隔の幅です。

これがどのように行われるかを理解できるように、間隔ごとにグループ化された次のデータの十分位 3、5、および 8 を計算する完了した演習を以下に示します。

データはグループ化されているため、各十分位数の計算は 2 つのステップで構成されます。まず、十分位数が該当する間隔を見つけ、次に十分位数の正確な値を計算します。したがって、第 3 十分位の間隔を求めます。

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{10}$

$\cfrac{3\cdot (70+1)}{10} =21,3 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [30,35)$

十分位間隔は、絶対累積頻度が 21.3 よりすぐ大きい間隔になります。この場合、それは絶対累積頻度が 31 である間隔 [30.35) です。十分位間隔がわかったので、次の式を適用して求めます。十分位の正確な値:

$D_k=L_i+\cfrac{\displaystyle\frac{k\cdot (n+1)}{10}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

$D_3=30+ \cfrac{\displaystyle\frac{3\cdot (70+1)}{10}-17}{14}\cdot 5=31,54$

ここで、メソッドを再適用して 5 十分位を取得する必要があります。まず、それが存在する間隔を決定します。

$\cfrac{5\cdot (70+1)}{10} =35,5 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [35,40)$

結果の 35 は、それが区間 [35,40) 内にあることを意味しますが、区間式に 35 があるためではなく、その累積絶対頻度 (42) が最も近い値であるためです。間隔が特定されたら、プロセスの 2 番目の式を適用します。

$D_5=35+ \cfrac{\displaystyle\frac{5\cdot (70+1)}{10}-31}{11}\cdot 5=37,05$

最後に、8 十分位を求めます。これを行うには、まずその間隔を計算します。

$\cfrac{8\cdot (70+1)}{10} =56,8 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [40,45)$

56.8 のすぐ上の累積絶対頻度は 58 であるため、8 番目の十分位範囲は [40.45) です。したがって、十分位数の正確な値を決定するだけで十分です。

$D_8=40+ \cfrac{\displaystyle\frac{8\cdot (70+1)}{10}-42}{16}\cdot 5=44,63$

著者について

ベンジャミン・アンダーソン博士

私はベンジャミンです。退職した統計教授から、専任の Statorials 教育者になりました。統計分野における豊富な経験と専門知識を活かして、私は Statorials を通じて学生に力を与えるために自分の知識を共有することに尽力しています。もっと知る