「少なくとも 3 回」成功する確率を求める方法

次の一般式を使用して、一連の試行における少なくとも 3 回の成功の確率を求めることができます。

 P(at least 3) = 1 - P(0 successes) - P(1 success) - P(2 successes)

上の式では、次の二項分布の式を使用して各確率を計算できます。

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

金：

• n:試行回数
• k:成功回数
• p:与えられた試行の成功確率
• _n C _k : n回の試行でk 個の成功を得る方法の数

次の例は、この式を使用して、さまざまなシナリオで「少なくとも 3 回」成功する確率を求める方法を示しています。

例 1: フリースローの試行

タイはフリースロー試投の 25% を成功させます。彼がフリースローを 5 回試みた場合、少なくとも 3 回成功する確率を求めてください。

まず、彼がフリースローをちょうど 0 回、ちょうど 1 回、またはちょうど 2 回投げる確率を計算してみましょう。

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0.25 ⁰ * (1-0.25) ^5-0 = 1 * 1 * 0.75 ⁵ = 0.2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0.25 ¹ * (1-0.25) ^5-1 = 5 * 0.25 * 0.75 ⁴ = 0.3955

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0.25 ² * (1-0.25) ^5-2 = 10 * 0.0625 * 0.75 ³ = 0.2636

次に、これらの値を次の式に代入して、Ty が少なくとも 3 つのフリースローを行う確率を求めてみましょう。

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≧3) = 1 – 0.2373 – 0.3955 – 0.2636
• P(X≧3) = 0.1036

Ty が 5 回の試行で少なくとも 3 回のフリースローを成功させる確率は0.1036です。

例 2: ウィジェット

特定の工場では、すべてのウィジェットの 2% に欠陥があります。 10 個のウィジェットのランダム サンプルにおいて、少なくとも 2 個が欠陥がある確率を決定します。

まず、正確に 0 つ、正確に 1 つ、または正確に 2 つが不良品である確率を計算してみましょう。

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0.02 ⁰ * (1-0.02) ^10-0 = 1 * 1 * 0.98 ¹⁰ = 0.8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0.02 ¹ * (1-0.02) ^10-1 = 10 * 0.02 * 0.98 ⁹ = 0.1667

P(X=2) = ₁₀ C ₂ * 0.02 ² * (1-0.02) ^10-2 = 45 * 0.0004 * 0.98 ⁸ = 0.0153

次に、これらの値を次の式に代入して、少なくとも 3 つのウィジェットに障害がある確率を求めてみましょう。

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≧3) = 1 – 0.8171 – 0.1667 – 0.0153
• P(X≧3) = 0.0009

この 10 個のランダム サンプル内で少なくとも 3 個のウィジェットに欠陥がある確率は0.0009です。

例 3: トリビアの質問

ボブはトリビアの質問の 60% に正解します。彼に 5 つのトリビアの質問をした場合、彼が少なくとも 3 つ正解する確率を求めてください。

まず、彼が正確に 0 つ、正確に 1 つ、または正確に 2 つ正解する確率を計算してみましょう。

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0.60 ⁰ * (1-0.60) ^5-0 = 1 * 1 * 0.40 ⁵ = 0.01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0.60 ¹ * (1-0.60) ^5-1 = 5 * 0.60 * 0.40 ⁴ = 0.0768

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0.60 ² * (1-0.60) ^5-2 = 10 * 0.36 * 0.40 ³ = 0.2304

次に、これらの値を次の式に代入して、彼が少なくとも 3 つの質問に正解する確率を求めてみましょう。

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≧3) = 1 – 0.01024 – 0.0768 – 0.2304
• P(X≧3) = 0.6826

彼が 5 つの質問のうち少なくとも 3 つに正しく答える確率は0.6826です。

ボーナス: 少なくとも 3 つの確率計算ツール

この計算ツールを使用すると、特定の試行における成功の確率と試行の総数に基づいて、「少なくとも 3 回」の成功の確率が自動的に計算されます。