Anova で平方和を計算する方法 (例あり)
統計では、一元配置分散分析を使用して 3 つ以上の独立したグループの平均を比較し、対応する母集団の平均間に統計的に有意な差があるかどうかを判断します。
一元配置分散分析を実行するときは常に、次の 3 つの平方和値を計算します。
1. 二乗和回帰 (SSR)
- これは、各グループの平均と全体の平均との差の二乗の合計です。
2. 二乗和誤差 (SSE)
- これは、個々の観測値とその観測値のグループ平均の差の二乗の合計です。
3. 総平方和 (SST)
- これは、個々の観測値と全体の平均の差の二乗の合計です。
これら 3 つの値はそれぞれ、最終的な ANOVA 表に配置され、グループ平均間に統計的に有意な差があるかどうかを判断するために使用されます。
次の例は、実際に一元配置分散分析の各平方和値を計算する方法を示しています。
例: ANOVA で平方和を計算する方法
3 つの異なる試験準備プログラムが、特定の試験で異なる平均点につながるかどうかを知りたいとします。これをテストするために、研究に参加する 30 人の学生を募集し、3 つのグループに分けます。
各グループの学生は、次の 3 週間、3 つの試験準備プログラムのうち 1 つを使用して試験の準備をするようにランダムに割り当てられます。 3 週間の終わりに、生徒全員が同じ試験を受けます。
各グループの試験結果は以下のとおりです。
次の手順は、この一元配置分散分析の平方和値を計算する方法を示しています。
ステップ 1: グループ平均と全体平均を計算します。
まず、3 つのグループの平均と全体 (または「全体」) の平均を計算します。
ステップ 2: SSR を計算します。
次に、次の式を使用して二乗和回帰 (SSR) を計算します。
nΣ(X j – X ..) 2
金：
- n : グループ j のサンプルサイズ
- Σ : 「和」を意味するギリシャ語の記号
- X j : グループ j の平均
- X .. : 全体の平均
この例では、SSR = 10(83.4-85.8) 2 + 10(89.3-85.8) 2 + 10(84.7-85.8) 2 = 192.2と計算されます。
ステップ 3: SES を計算します。
次に、次の式を使用して平方和誤差 (SSE) を計算します。
Σ(X ij – X j ) 2
金：
- Σ : 「和」を意味するギリシャ語の記号
- X ij : グループ j のi 番目の観測値
- X j : グループ j の平均
この例では、SSE を次のように計算します。
グループ 1: (85-83.4) 2 + (86-83.4) 2 + (88-83.4) 2 + (75-83.4) 2 + (78-83.4) 2 + (94-83.4) 2 + (98-83.4) 2 + (79-83.4) 2 + (71-83.4) 2 + (80-83.4) 2 = 640.4
グループ 2: (91-89.3) 2 + (92-89.3) 2 + (93-89.3) 2 + (85-89.3) 2 + (87-89.3) 2 + (84-89.3) 2 + (82-89.3) 2 + (88-89.3) 2 + (95-89.3) 2 + (96-89.3) 2 = 208.1
グループ 3: (79-84.7) 2 + (78-84.7) 2 + (88-84.7) 2 + (94-84.7) 2 + (92-84.7) 2 + (85-84.7) 2 + (83-84.7) 2 + (85-84.7) 2 + (82-84.7) 2 + (81-84.7) 2 = 252.1
ESS: 640.4 + 208.1 + 252.1 = 1,100.6
ステップ 4: SST を計算します。
次に、次の式を使用して平方和 (SST) の合計を計算します。
SST = SSR + SSE
この例では、SST = 192.2 + 1100.6 = 1292.8
SSR、SSE、SST の値を計算したら、これらの各値は最終的に ANOVA テーブルに配置されます。
| ソース | 二乗和 (SS) | DF | 平均二乗 (MS) | F値 | p値 |
|---|---|---|---|---|---|
| 回帰 | 192.2 | 2 | 96.1 | 2,358 | 0.1138 |
| エラー | 1100.6 | 27 | 40.8 | ||
| 合計 | 1292.8 | 29 |
表内のさまざまな数値を計算する方法は次のとおりです。
- 回帰 df: k-1 = 3-1 = 2
- エラー df: nk = 30-3 = 27
- 合計DF: n-1 = 30-1 = 29
- SEP処理： SST処理/df = 192.2 / 2 = 96.1
- MS エラー: SSE エラー / df = 1100.6 / 27 = 40.8
- F値： MS処理/MS誤差=96.1/40.8=2.358
- p値: F値に対応するp値。
注: n = 観測値の合計数、k = グループの数
ANOVA 表の F 値と p 値を解釈する方法については、このチュートリアルを参照してください。
著者について
ベンジャミン・アンダーソン博士
私はベンジャミンです。退職した統計教授から、専任の Statorials 教育者になりました。 統計分野における豊富な経験と専門知識を活かして、私は Statorials を通じて学生に力を与えるために自分の知識を共有することに尽力しています。もっと知る