統計における 10% の条件: 定義と例
ベルヌーイ試行は、「成功」または「失敗」の 2 つの結果しか考えられない実験であり、実験が実行されるたびに成功の確率は同じです。
ベルヌーイのエッセイの例としては、コイントスがあります。コインは 2 つの表にのみ着地できます (表を「ヒット」、裏を「失敗」と呼びます)。コインが公正であると仮定すると、各フリップでの成功確率は 0.5 です。
統計では、複数のベルヌーイ試行を含む確率を計算する場合、正規分布を近似値として使用することがよくあります。ただし、これを行うには、試験が独立していると仮定する必要があります。
試験が真に独立していない場合でも、対象とするサンプルサイズが母集団サイズの 10% を超えなければ、常に独立していると仮定できます。これを10% 条件と呼びます。
10% の条件:サンプル サイズが母集団サイズの 10% 以下である限り、ベルヌーイ テストは独立していると常に仮定できます。
10% 条件の背後にある直感
10% 条件の背後にある直感を養うために、次の例を考慮してください。
特定のクラスでバスケットボールよりもサッカーを好む生徒の実際の割合が 50% であると仮定します。 確率変数X を、バスケットボールよりもフットボールを好む 4 つの試験でランダムに選択された生徒の数とします。無作為に選ばれた 4 人の生徒がバスケットボールよりもサッカーを好む確率を知りたいとします。
クラスのサイズが 20 人の生徒で、試行が独立している場合 (たとえば、20 人の生徒全員からサンプルを繰り返し採取できます)、各生徒がバスケットボールよりもサッカーを好む確率は次のように計算できます。
P(4 人の生徒はフットボールを好みます) = 10/20 * 10/20 * 10/20 * 10/20 = .0625 。
ただし、試行が独立していない場合 (たとえば、一度生徒をサンプリングすると、その生徒をクラスに戻すことはできません)、4 人の生徒全員がサッカーを好む確率は次のように計算されます。
P(4 人の生徒はフットボールを好みます) = 10/20 * 9/19 * 8/18 * 7/17 = .0433 。
これら 2 つの確率は大きく異なります。この例では、サンプル サイズ (生徒 4 人) が母集団 (生徒 20 人) の 10% 以下ではないため、10% の条件を使用できないことを考慮してください。
ただし、クラスの規模に基づいて、ランダムに選択された 4 人の生徒がサッカーを好む確率を示す次の表を考えてみましょう。
母集団サイズに対するサンプルサイズ (たとえば、この例では「クラスサイズ」) が減少するにつれて、独立した試験と非独立な試験の間で計算された確率はますます近づきます。
サンプルサイズが母集団サイズのちょうど 10% である場合、独立した試験と非独立な試験の確率の差は比較的似ていることに注意してください。
また、サンプルサイズが母集団サイズの 10% よりはるかに小さい場合 (たとえば、表の最後の行の母集団サイズのわずか 0.4%)、独立試験と非独立試験の確率は非常に近くなります。
結論
10% 条件は、一連のベルヌーイ試行が独立していると安全に仮定するには、サンプル サイズが母集団サイズの 10% 以下でなければならないことを示しています。
もちろん、母集団についての推論ができるだけ正確になるように、サンプル サイズが母集団サイズの 10% を十分に下回ることが最善です。たとえば、サンプル サイズを人口の 10% ではなく 5% のみにしたいとします。
追加リソース
著者について
ベンジャミン・アンダーソン博士
私はベンジャミンです。退職した統計教授から、専任の Statorials 教育者になりました。 統計分野における豊富な経験と専門知識を活かして、私は Statorials を通じて学生に力を与えるために自分の知識を共有することに尽力しています。もっと知る