確率の公理

この記事では、確率の公理とは何かについて説明します。したがって、確率の公理的な定義、確率のさまざまな公理、およびそれらの応用例がわかります。

確率の 3 つの公理とは何ですか?

確率の公理は次のとおりです。

1. 確率の公理 1 : 事象の確率は負であってはなりません。
2. 確率の公理 2 : ある事象の確率は 1 です。
3. 確率公理 3 : 排他的なイベントのセットの確率は、すべての確率の合計に等しい。

確率の 3 つの公理は、1933 年にこのロシアの数学者によって定式化されたため、コルモゴロフの公理としても知られています。

それぞれのタイプの確率公理については、以下でさらに詳しく説明します。

公理1

確率の最初の公理は、イベントが発生する確率は負であってはならず、したがってその値は 0 から 1 の間であると述べています。

ある出来事の確率がゼロである場合、それはそれが起こるのは不可能であることを意味します。一方、事象の確率が 1 の場合、その事象は必ず発生することを意味します。したがって、イベントの確率値が高いほど、そのイベントが発生する可能性が高くなります。

公理2

確率の 2 番目の公理は、特定のイベントが発生する確率は 1 に等しいと述べています。

ある出来事は、必ず起こるランダムな経験の結果です。したがって、安全なイベントは、ランダム化された実験のサンプル空間として定義することもできます。

公理3

確率の 3 番目の公理は、一連の排他的なイベントが与えられた場合、すべてのイベントの結合確率はすべての発生確率の合計に等しい、と述べています。

2 つ以上のイベントは、同時に発生できない場合、排他的です。したがって、同時確率を計算するために、それらが同時に発生する確率を考慮する必要はありません。

確率公理の例

例として、以下では、確率の公理が満たされていることを確認できるように、サイコロを振る実験のいくつかの結果を分析します。

サイコロを振ると、次の 6 つの結果が考えられます。

この場合、すべての結果の可能性は等しいため、各結果が発生する確率を決定するには、結果の確率を見つけるだけで済みます。そこで、ラプラスの法則の式を適用して、考えられるそれぞれの結果の確率を計算します。

このとき、それぞれの結果が得られる確率は正であるため、確率の第 1 公理が満たされます。

次に、2 番目の公理を確認してみましょう。この場合、特定のイベントは「1 から 6 までの数値を取得する」ため、各結果を取得する確率を加算します。

したがって、特定のイベントの確率は 1 に等しいため、確率の 2 番目の公理も満たされます。

最後に残っているのは、確率の 3 番目の公理を検証することだけです。サイコロを振って得られるさまざまな結果は、相互に排他的です。たとえば、2 を振った場合、5 は得られなくなります。したがって、任意の 2 つの数字を得る計算は、次の 2 つの方法で実行できます。ラプラスの法則、または各結果の確率を加算することによって。

どちらの場合も同じ確率値が得られるため、3 番目の確率公理も当てはまります。

確率の公理から導かれる性質

確率の 3 つの公理から、次の特性を推定できます。

1. ありえない出来事が起こる確率はゼロです。



2. あらゆる事象の確率は 1 以下です。





3. ある事象の確率は、1 からその補足的な事象の確率を引いたものに等しくなります。



4. イベントが別のイベントに含まれている場合、最初のイベントの確率は 2 番目のイベントの確率以下である必要があります。



5. 2 つのイベントが結合する確率は、それらの確率の合計から交差の確率を引いたものです。



6. 2 行 2 列の互換性のないイベントのセットが与えられた場合、それらの同時確率は、各イベントの発生確率を加算することによって計算されます。



7. サンプル空間が有限で、イベントが S={x ₁ ,x ₁ ,…,x _k } の場合、そのイベントの発生確率は次の式と等価です。