確率論

によるベンジャミン・アンダーソン博士 8月 1, 2023 確率 0コメント

この記事では、確率論とは何か、そしてそれが何に使用されるのかについて説明します。したがって、確率論の基本概念と確率論の性質と法則がわかります。

確率論とは何ですか?

確率理論は、ランダムな現象の確率を計算するために使用される一連のルールとプロパティです。したがって、確率論を使用すると、ランダムな実験でどの結果が発生する可能性が最も高いかを知ることができます。

ランダム現象は実験から得られる結果であり、その結果は予測できず、偶然に依存することに留意してください。したがって、確率理論は、ランダムな現象が発生する確率を決定することを可能にする一連の法則です。

たとえば、コインを投げると、表か裏という 2 つの結果が得られる可能性があります。さて、確率理論を使用して、表が出る確率を計算できます。この場合、それは 50% です。

歴史を通じて、多くの人々が確率論の発展に貢献してきましたが、その中でもカルダノ、ラプラス、ガウス、コルモゴロフは際立っています。

➤参照:確率の公式

確率論の基礎

サンプル空間

確率論では、サンプル空間はランダムな実験で考えられるすべての結果のセットです。

サンプル空間の記号はギリシャ文字の大文字オメガ (Ω) ですが、大文字 E で表すこともできます。

たとえば、サイコロを振るためのサンプル空間は次のとおりです。

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

➤参照:サンプル空間

イベント

確率論では、イベント(または出来事) は、それぞれランダムな実験の可能な結果です。したがって、事象の確率は、結果が発生する確率を示す値です。

たとえば、コイントスには「表」と「裏」という 2 つのイベントがあります。

イベントにはさまざまな種類があります。

基本イベント (または単純なイベント):実験で考えられるそれぞれの結果。
複合イベント:これはサンプル空間のサブセットです。
特定のイベント:これは常に発生するランダムな経験の結果です。
不可能な出来事:これは決して起こらないランダムな実験の結果です。
互換性のあるイベント: 2 つのイベントに共通の基本イベントがある場合、互換性があります。
互換性のないイベント:基本イベントを共有しない 2 つのイベントは互換性がありません。
独立したイベント:一方の発生確率が他方の確率に影響を与えない場合、2 つのイベントは独立しています。
依存イベント:一方の発生確率が他方の発生確率を変える場合、2 つのイベントは依存します。
別のイベントに反するイベント:他のイベントが発生しないときに発生するイベント。

➤参照:イベントの種類

確率の公理

確率の公理は次のとおりです。

確率の公理 1 : 事象の確率は負であってはなりません。

$0\leq P(A)\leq 1$

確率の公理 2 : ある事象の確率は 1 です。

$P(\Omega)=1$

確率公理 3 : 互換性のない一連のイベントの確率は、すべての確率の合計に等しい。

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

➤参照:確率の公理

確率のプロパティ

確率のプロパティは次のとおりです。

1 つのイベントの確率は、1 から反対のイベントの確率を引いたものに相当します。

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

不可能な出来事が起こる確率は常にゼロです。

$P(\varnothing)=0$

イベントが別のイベントに含まれている場合、最初のイベントの確率は 2 番目のイベントの確率以下である必要があります。

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

2 つのイベントが結合する確率は、別々に発生する各イベントの確率の合計から、それらの交差の確率を引いたものに等しくなります。

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

2 行 2 列の互換性のないイベントのセットが与えられた場合、それらの同時確率は、各イベントの発生確率を加算することによって計算されます。

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

サンプル空間内のすべての要素イベントの確率の合計は 1 に等しくなります。

$\Omega=\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}$

$P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)=1$

➤参照:確率の性質

確率のルール

ラプラスの法則

ラプラスの法則は、サンプル空間でイベントが発生する確率を計算するために使用される確率規則です。

より具体的には、ラプラスの法則は、イベントが発生する確率は、有利なケースの数を可能なケースの総数で割ったものに等しい、というものです。したがって、ラプラスの法則の公式は次のようになります。

$P(A)=\cfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

たとえば、緑のボール 5 個、青のボール 4 個、黄色のボール 2 個を袋の中に入れた場合、ラプラスの法則を使用して、緑のボールをランダムに引く確率を求めることができます。

$P(\text{bola verde})=\cfrac{5}{5+4+2}=0,45$

➤参照:ラプラスの法則 (確率)

合計ルール

確率理論では、和の法則(または加算の法則) は、2 つの事象の確率の合計は、それぞれの事象が別々に発生する確率の合計から、両方の事象が同時に発生する確率を引いたものに等しい、というものです。時間。。

したがって、加算ルールの式は次のようになります。

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

次のリンクで、加算ルールを適用するための段階的な演習を確認できます。

➤参照:加算ルール (確率)

乗算規則

乗算ルール (または積ルール) は、 2 つの独立したイベントが発生する同時確率が、各イベントの発生確率の積に等しいことを示します。

したがって、乗算ルールの式は次のようになります。

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

ただし、乗算ルールの式は、イベントが独立しているか依存しているかによって異なります。ここをクリックすると、依存イベントの乗算ルールの式と、このルールの適用例を確認できます。

➤参照:乗算ルール (確率)

著者について

ベンジャミン・アンダーソン博士

私はベンジャミンです。退職した統計教授から、専任の Statorials 教育者になりました。統計分野における豊富な経験と専門知識を活かして、私は Statorials を通じて学生に力を与えるために自分の知識を共有することに尽力しています。もっと知る