非対称性（統計）

によるベンジャミン・アンダーソン博士 8月 5, 2023 統計 0コメント

この記事では、統計における歪度が何を意味するのかについて説明します。したがって、統計における非対称の定義、さまざまな種類の非対称とは何か、非対称係数の計算方法とその解釈方法がわかります。

統計における非対称性とは何ですか?

統計において、歪度は、平均に対する分布の対称性 (または非対称性) の度合いを示す尺度です。簡単に言うと、歪度は、グラフで表現することなく、分布の対称性 (または非対称性) の度合いを決定するために使用される統計パラメータです。

したがって、偏った分布とは、平均値の左側と右側の値の数が異なる分布のことです。一方、対称分布では、平均値の左右に同じ数の値があります。

たとえば、指数分布は非対称であり、正規分布は対称です。

非対称性の種類

統計学では、次の 3種類の非対称性があります。

正の非対称性: 分布には、平均の左側より右側の方が異なる値が多くあります。
対称性: 分布には、平均の左側と右側の値の数が同じになります。
負の歪度: 分布には、平均の右側よりも左側の方が異なる値が多くあります。

非対称係数

歪度係数、または非対称指数は、分布の非対称性を判断するのに役立つ統計係数です。したがって、非対称係数を計算すると、分布をグラフで表現しなくても、分布の非対称の種類を知ることができます。

非対称係数を計算するにはさまざまな式があり、それらをすべて以下に示しますが、使用する式に関係なく、非対称係数の解釈は常に次のように行われます。

歪度係数が正の場合、分布は正に歪んでいます。
歪度係数がゼロの場合、分布は対称です。
歪度係数が負の場合、分布は負に歪んでいます。

フィッシャーの非対称係数

フィッシャーの歪度係数は、平均値をサンプル標準偏差で割った値に関する 3 次モーメントに等しくなります。したがって、フィッシャーの非対称係数の式は次のようになります。

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

同様に、次の 2 つの式のいずれかを使用してフィッシャー係数を計算できます。

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

金

$E$

それは数学的な希望であり、

$\mu$

算術平均、

$\sigma$

標準偏差と

$N$

データの総数。

一方、データがグループ化されている場合は、次の式を使用できます。

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

この場合どこに

$x_i$

それはクラスの証であり、

$f_i$

コースの絶対頻度。

ピアソンの非対称係数

ピアソンの歪度係数は、サンプル平均と最頻値の差を標準偏差 (または標準偏差) で割ったものに等しくなります。したがって、ピアソンの非対称係数の式は次のようになります。

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

金

$A_p$

はピアソン係数、

$\mu$

算術平均、

$Mo$

ファッションと

$\sigma$

標準偏差。

ピアソン歪度係数は、単峰分布の場合、つまりデータ内にモードが 1 つだけ存在する場合にのみ計算できることに注意してください。

ピアソン歪度係数を計算するために最頻値の代わりに中央値を使用する著者もいますが、一般的には上記の式が使用されます。

➤参照:平均値、中央値、最頻値の違い

ボウリーの非対称係数

ボウリーの歪度係数は、第 3 四分位数と第 1 四分位数の合計から中央値の 2 倍を引いた値を、第 3 四分位数と第 1 四分位数の差で割ったものに等しくなります。したがって、この非対称係数の式は次のようになります。

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

金

$Q_1$

そして

$Q_3$

これらはそれぞれ第 1 四分位数と第 3 四分位数であり、

$Me$

分布の中央値です。

分布の中央値が第 2 四分位数と一致することを思い出してください。

➤参照:四分位計算ツール

統計における非対称性は何に使用されますか?

統計における非対称性の意味を完全に理解するために、分布のこの特性がどのように計算されるかを見てみましょう。

歪度は主に確率分布の形状を知るために使用されます。歪度係数を計算すると、グラフで表現しなくても、分布が負の非対称分布であるか、正の非対称分布であるか、または対称分布であるかを知ることができるからです。

さらに、歪度は尖度とともに、データセットが正規分布に近似できるかどうかを判断するために使用されます。言い換えれば、歪度係数と尖度係数を計算して、データ系列が正規分布の仮定を満たしているかどうかを確認します。満たしている場合、多くの統計定理が適用できることを意味するため、これは非常に有益であることがわかります。

➤ 「お世辞」を参照

著者について

ベンジャミン・アンダーソン博士

私はベンジャミンです。退職した統計教授から、専任の Statorials 教育者になりました。統計分野における豊富な経験と専門知識を活かして、私は Statorials を通じて学生に力を与えるために自分の知識を共有することに尽力しています。もっと知る