総確率定理

この記事では、総確率定理とは何なのか、確率と統計でどのように使用されるのかについて説明します。したがって、全確率定理の公式、解かれた演習、および全確率定理が使用される場合がわかります。

全確率定理とは何ですか?

確率理論における全確率定理は、サンプル空間の一部ではないイベントの確率を、サンプル空間内のすべてのイベントの条件付き確率から計算できるようにする法則です。

したがって、全確率定理は、特定のイベントに関する部分的な情報に基づいて、そのイベントの確率を計算するために使用されます。必要な情報がすべて揃っていないために、ラプラスの法則を直接適用して事象の確率を決定できない場合があります。しかし、他のイベントと比較したこのイベントに関するデータがわかっている場合は、通常、合計確率定理が役立ちます。

つまり、全確率定理は、ある事象の確率を計算したいが、特定の条件下でのみそれに関する情報が必要な場合に使用されます。たとえば、この定理の一部の応用には、複数のケースでの実験、キュー理論、生存分析が含まれます。

全確率定理の公式

全確率定理は、サンプル空間上でパーティションを形成する一連のイベント {A ₁ 、A ₂ 、…、A _n } が与えられた場合、イベント B の確率はそれぞれの確率の積の合計に等しい、というものです。イベント P(A _i ) を条件付き確率 P(B|A _i ) で計算します。

したがって、合計確率定理の公式は次のようになります。

金：

• 

  はイベント B が発生する確率です。

• 

  は、イベント A _iが与えられた場合のイベント B の条件付き確率です。

• 

  はイベント A _iが発生する確率です。

確率において、サンプル空間の分割は、その和集合がサンプル空間を形成する相互に互換性のないイベントのセットとして定義されることに留意してください。

全確率定理の具体例

全確率定理の定義とその公式を理解した後、その意味をよりよく理解するために、全確率定理を使用して確率がどのように計算されるかについての演習を解いていきます。

• ある電器店では、X、Y、Z の 3 つのブランドのテレビを販売しています。売上の 20% がブランドのテレビ、% が欠陥ブランドのテレビ、4% が Z ブランドのテレビであると推定されています。テレビに欠陥がある。欠陥のあるテレビが購入される可能性はどのくらいですか?

問題ステートメントにより、顧客が各ブランドのテレビを購入する確率がわかります。

• イベント A ₁ : 顧客がテレビの_ブランドを購入する
• イベント A ₂ : 顧客がブランド Y からテレビを購入 → P(A ₂ )=0.50
• イベント A ₃ : 顧客がテレビ ブランドを購入 Z → P(A ₃ )=0.30

さらに、演習ステートメントでは、各ブランドのテレビに欠陥がある確率も提供されます。

イベント B: テレビが故障している

• B|A ₁ : ブランド X のテレビがあるとすると、そのテレビは欠陥品です → P(B|A ₁ )=0.05
• B|A ₂ : テレビ Y のブランドを考慮すると、そのテレビは欠陥品です → P(B|A ₂ )=0.03
• B|A ₃ : ブランド Z のテレビがあるとすると、そのテレビは欠陥品です → P(B|A ₃ )=0.04

したがって、問題の確率ツリーは次のようになります。

したがって、欠陥のあるテレビが購入される確率を計算するには、合計確率ルールの公式を使用する必要があります。

この場合、サンプル空間は 3 つのイベント (A ₁ 、A ₂ 、および A ₃ ) で構成されているため、合計確率定理の式は次のようになります。

したがって、欠陥のあるテレビが購入される確率を求めるには、前の式の確率を代入するだけで十分です。

結論として、テレビを購入すると欠陥品である確率は 3.7% です。

全確率定理とベイズの定理

全確率定理とベイズの定理は、特に条件付き確率値から確率を計算できるため、確率論における 2 つの重要な定理です。

ベイズの定理は、事象に関する先験的な情報がわかっている場合に、その事象の確率を計算するために使用される確率論の法則です。

具体的には、全確率定理とベイズの定理は関連しており、実際、ベイズ定理の式の分母は全確率定理の式と等価です。

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