調和平均

によるベンジャミン・アンダーソン博士 8月 6, 2023 統計 0コメント

ここでは調和平均とは何か、その計算方法（公式）について説明します。さらに、サンプルの調和平均を段階的に計算します。また、任意のデータセットの調和平均を計算するための計算ツールもあります。そして最後に、調和平均の特性が何であるかを確認できるようになります。

調和平均とは何ですか?

調和平均は、記述統計の中心位置の尺度です。調和平均は、統計データの総数を各値の逆数の合計で割ることによって計算されます。

調和平均は、平均速度、時間を計算したり、電子計算を行ったりするために使用されます。この機能は、調和平均を、平均価格やパーセンテージの計算によく使用される他のタイプの平均と区別します。

したがって、調和平均の公式は次のようになります。

調和平均は通常、大文字の H で表されます。

他の種類の平均としては、算術平均、加重平均、二乗平均、幾何平均などがあります。調和平均には、他のタイプの平均と比較して利点と欠点があります。以下では、それらが何であるかを見ていきます。

調和平均の計算方法

調和平均を計算するには、次の手順を実行する必要があります。

サンプル内の各統計データの逆数を計算します。
計算されたすべての逆数を加算します。
データの総数を前のステップで求めた合計で割ります。
得られる結果は、統計サンプルの調和平均です。

👉 ご覧のとおり、データセットの調和平均を取るには多くの操作が必要となるため、手作業で行うのは非常に手間がかかります。したがって、調和平均を計算するには、以下の計算機を使用することをお勧めします。

調和平均の例

調和平均に関する理論を理解した後、株価の段階的な例を解いて、一連のデータの調和平均を求める方法を見ていきます。

ある人は、5 年間連続して毎年会社の株を購入します。この期間中、株価は大きく変動しました。初年度は 1 株あたり 7 ユーロの価値があり、2 年目は 10 ユーロ、3 年目は 15 ユーロとなり、4 年目に会社は重大な財務上の損失を経験しました。価格は1株当たり6ユーロまで下落し、最終的に5年目に同社は大規模な投資を行って価格を11ユーロまで引き上げた。株式の平均購入価格はいくらでしたか?

1 つのオプションは、算術平均を計算すること、つまりすべての価格を合計して 5 で割ることです。ただし、購入した年が異なるため、算術平均を取ると誤差が生じます。したがって、すべての価格の調和平均を見つける必要があります。

次に、調和平均の公式を適用します。

$\displaystyle H=\frac{N}{\displaystyle\sum_{i=1}^N\frac{1}{x_i}}=\frac{N}{\displaystyle\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}+\frac{1}{x_5}}$

次に、問題のある価格値を式に代入し、調和平均を計算します。

$\displaystyle H=\frac{5}{\displaystyle\frac{1}{7}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{6}+\frac{1}{11}}=8,82$

5 つの異なる情報があるため、分数の分子に 5 を入力する必要があります。

したがって、この期間中に購入した株式の平均価格は 1 株あたり 8.82 ユーロとなります。

調和平均計算機

次の計算機を使用すると、任意の統計データセットの調和平均を計算できます。

小数点としてドットを使用して数値を入力し、数値をスペースで区切る必要があります。調和平均を求める場合、値をゼロにすることはできないことに注意してください。

調和平均の性質

調和平均には次の特性があります。

大きな値はアンサンブルの調和平均にはほとんど影響しません。つまり、他のデータと比較して非常に大きな値が調和平均に目立った変化を引き起こすことはありません。

一方、値が小さいとアンサンブルの調和平均に大きな影響を与え、その値が大幅に減少します。実際、式の分母の逆数は非常に大きな値になります。

いずれかのデータがゼロの場合、式に不確定性が生じるため、調和平均は計算できません。このような場合、調和平均は定義されていないと言われます。

調和平均の逆数は、観測値の逆数の算術平均に相当します。

同じグループのデータでは、調和平均は算術平均以下になります。

$\cfrac{N}{\displaystyle\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\dots+\frac{1}{x_N}}\leq \cfrac{x_1+x_2+\dots+x_N}{N}$

Excelで調和平均を計算する

これまで見てきたように、調和平均を手動で計算することは、多くの計算を実行する必要があるため、非常に面倒な場合があります。大量のデータがある場合、作業はさらに複雑になります。したがって、調和平均を求めるには、電卓または Excel プログラムを使用することをお勧めします。

Excel の調和平均は、式MEAN.ARMOを使用して計算されます。つまり、一連のデータの調和平均を計算するには、それらを Excel シートにコピーし、すべてのデータをMEAN.ARMO関数に入力する必要があります。

たとえば、上記で解決した演習の調和平均を取得するには、Excel のセルに=MEDIA.ARMO(7;10;15;6;11)と書き込みます。

いずれかの値がゼロの場合、関数はエラーを返すことに注意してください。これは、統計値のいずれかがゼロの場合、一連の統計値の調和平均を決定できないためです。

著者について

ベンジャミン・アンダーソン博士

私はベンジャミンです。退職した統計教授から、専任の Statorials 教育者になりました。統計分野における豊富な経験と専門知識を活かして、私は Statorials を通じて学生に力を与えるために自分の知識を共有することに尽力しています。もっと知る