負の二項分布の概要

負の二項分布は、一連のベルヌーイ試行において一定回数の成功を経験する前に一定回数の失敗を経験する確率を表します。

ベルヌーイ試行は、「成功」または「失敗」の 2 つの結果しか考えられない実験であり、実験が実行されるたびに成功の確率は同じです。

ベルヌーイのエッセイの例としては、コイントスがあります。コインは 2 つの表にのみ着地できます (表を「ヒット」、裏を「失敗」と呼びます)。コインが公正であると仮定すると、各フリップでの成功確率は 0.5 です。

確率変数の場合

P(X=k) = _k+r-1 C _k * (1-p) ^r *p ^k

金：

• k:失敗回数
• r:成功回数
• p:与えられた試行の成功確率
• _k+r-1 C _k :一度に k 個の (k+r-1) 個のものの組み合わせの数

たとえば、コインを投げて、表が着地したことを「成功」イベントと定義するとします。合計 4 回の成功を経験する前に 6 回の失敗を経験する確率はどれくらいですか?

この質問に答えるために、次のパラメーターを使用して負の二項分布を使用できます。

• k:失敗数 = 6
• r:成功回数 = 4
• p:特定の試行の成功確率 = 0.5

これらの数値を式に代入すると、確率は次のようになります。

P(X=6 失敗) = _6+4-1 C ₆ * (1-.5) ⁴ *(.5) ⁶ = (84)*(.0625)*(.015625) = 0.08203 。

負の二項分布の特性

負の二項分布には次の特性があります。

r 回の成功を得るまでに予想される失敗の平均数は、 pr/(1-p)です。

r回の成功を得るまでに予想される失敗の数の分散は、 pr / (1-p) ²です。

たとえば、コインを投げて、表が着地したことを「成功」イベントと定義するとします。

4 回成功するまでに予想される平均失敗数 (例: 尾部着陸)は、 pr/(1-p) = (.5*4) / (1-.5) = 4となります。

4 回成功するまでに予想される失敗数の分散は、 pr/(1-p) ² = (.5*4)/(1-.5) ² = 8となります。

負の二項分布の練習問題

次の練習問題を使用して、負の二項分布に関する知識をテストしてください。

注:これらの質問に対する答えを計算するには、負の二項分布計算ツールを使用します。

問題 1

質問:コインを投げて、表が出る場合を「成功」イベントと定義するとします。合計 4 回の成功を経験する前に 3 回の失敗を経験する確率はどれくらいですか?

回答: k = 3 回の失敗、r = 4 回の成功、および p = 0.5 で負の二項分布計算を使用すると、 P(X=3) = 0.15625であることがわかります。

問題 2

質問:戸別訪問してお菓子を売り歩いたとします。誰かがキャンディーバーを買ってくれたら、私たちはそれを「成功」だと考えます。特定の人がキャンディー バーを購入する確率は 0.4 です。合計 5 回の成功を経験する前に 8 回の失敗を経験する確率はどれくらいですか?

回答: k = 8 回の失敗、r = 5 回の成功、および p = 0.4 で負の二項分布計算ツールを使用すると、 P(X=8) = 0.08514であることがわかります。

問題 3

質問:サイコロを振って、数字の 5 が出ることを「成功」と定義するとします。与えられた出目でサイコロが 5 になる確率は、1/6 = 0.167 です。合計 3 回の成功を経験する前に 4 回の失敗を経験する確率はどれくらいですか?

回答: k = 4 回の失敗、r = 3 回の成功、および p = 0.167 で負の二項分布計算を使用すると、 P(X=4) = 0.03364であることがわかります。