超幾何分布の概要

超幾何分布は、この特性を持つK 個のオブジェクトを含むサイズNの有限母集団から、 n回の描画で特定の特性を持つk個のオブジェクトを非置換で選択する確率を表します。

確率変数Xが超幾何分布に従う場合、特定の特性を持つk 個のオブジェクトが選択される確率は、次の式で求められます。

P(X=k) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n

金：

• N:人口規模
• K:母集団内の特定の特性を持つオブジェクトの数
• n:サンプルサイズ
• k:サンプル内の特定の機能を持つオブジェクトの数
• _K C _k :一度に k 個の K 個のものの組み合わせの数

たとえば、標準の 52 枚のカード デッキには 4 枚のクイーンがあります。デッキからカードをランダムに選択し、その後、置き換えることなく、デッキから別のカードをランダムに選択するとします。両方のカードがクイーンである確率はどれくらいですか?

これに答えるために、次のパラメーターを使用して超幾何分布を使用できます。

• N:母集団のサイズ = 52 枚のカード
• K:特定の特性を持つ母集団内のオブジェクトの数 = 4 クイーン
• n:サンプル サイズ = 2 ドロー
• k:特定の特性を持つサンプル内のオブジェクトの数 = 2 クイーン

これらの数値を式に代入すると、確率は次のようになります。

P(X=2) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n = ₄ C ₂ ( _52-4 C _2-2 ) / ₅₂ C ₂ = 6*1/ 1326 = 0.00452 。

これは直感的に理解できるはずです。デッキから 2 枚のカードを順番に引くことを想像すると、両方のカードがクイーンである確率は非常に低いはずです。

超幾何分布の性質

超幾何分布には次の特性があります。

分布の平均は(nK) / Nです

分布の分散は (nK)(NK)(Nn) / (N ² (n-1))です。

超幾何分布の演習問題

次の練習問題を使用して、超幾何分布の知識をテストしてください。

注:これらの質問に対する答えを計算するには、超幾何分布計算ツールを使用します。

問題 1

質問:デッキから 4 枚のカードを入れ替えずにランダムに選択するとします。カードのうち 2 枚がクイーンである確率はどれくらいですか?

これに答えるために、次のパラメーターを使用して超幾何分布を使用できます。

• N:母集団のサイズ = 52 枚のカード
• K:特定の特性を持つ母集団内のオブジェクトの数 = 4 クイーン
• n:サンプル サイズ = 4 ドロー
• k:特定の特性を持つサンプル内のオブジェクトの数 = 2 クイーン

これらの数値を超幾何分布計算ツールに代入すると、確率が0.025であることがわかります。

問題 2

質問:壺には赤いボールが 3 個、緑色のボールが 5 個入っています。ランダムに 4 つのボールを選択します。ちょうど 2 つの赤いボールを選択する確率はどれくらいですか?

これに答えるために、次のパラメーターを使用して超幾何分布を使用できます。

• N:母集団のサイズ = 8 ボール
• K:特定の特性を持つ母集団内のオブジェクトの数 = 3 つの赤いボール
• n:サンプル サイズ = 4 ドロー
• k:サンプル内の特定の特性を持つオブジェクトの数 = 2 つの赤いボール

これらの数値を超幾何分布計算ツールに代入すると、確率が0.42857であることがわかります。

問題 3

質問:かごには紫色のビー玉が 7 個とピンク色のビー玉が 3 個入っています。ランダムに 6 つのビー玉を選択します。ピンクのビー玉をちょうど 3 つ選ぶ確率はどれくらいですか?

これに答えるために、次のパラメーターを使用して超幾何分布を使用できます。

• N:母集団のサイズ = ビー玉 10 個
• K:特定の特性を持つ母集団内のオブジェクトの数 = ピンクのボール 3 個
• n:サンプル サイズ = 6 ドロー
• k:サンプル内の特定の特性を持つオブジェクトの数 = ピンクのボール 3 個

これらの数値を超幾何分布計算ツールに代入すると、確率が0.16667であることがわかります。