非対称係数
この記事では、非対称係数とは何か、その計算方法、およびその解釈方法について説明します。具体的には、統計で最もよく使用される 3 種類の非対称係数の計算方法を学びます。
非対称係数とは何ですか?
統計学における非対称係数は、分布の非対称性を計算できる係数です。つまり、歪度係数は、関数が正に歪んでいるか、負に歪んでいるか、または対称であるかを判断するために使用されます。
非対称係数は、非対称指数とも呼ばれます。
分布の歪度は曲線の形状に依存することに注意してください。したがって、さまざまな種類の非対称性は次のとおりです。
- 正の歪度: 分布には、平均の左側より右側の方が異なる値が多くあります。
- 負の歪度: 分布には、平均の右側よりも左側の方が異なる値が多くあります。
- 対称性: 分布には、平均の右側と左側に同じ数の値があります。
非対称係数は主にフィッシャー係数、ピアソン係数、ボウリー係数の3種類が場合に応じて使用されます。各種の歪度係数の計算方法については、以下で詳しく説明します。
フィッシャーの非対称係数
フィッシャーの歪度係数は、平均値をサンプル標準偏差で割った値に関する 3 次モーメントに等しくなります。したがって、フィッシャーの非対称係数の式は次のようになります。
同様に、次の 2 つの式のいずれかを使用してフィッシャー係数を計算できます。
金
は数学的な期待値であり、
算術平均、
標準偏差と
データの総数。
一方、データがグループ化されている場合は、次の式を使用できます。
この場合どこに
それはクラスの証であり、
コースの絶対頻度。
値が計算されると、フィッシャーの非対称係数は次のように解釈されます。
- フィッシャーの歪度係数が正の場合、分布は正に歪んでいます。
- フィッシャーの歪度係数が負の場合、分布は負に歪んでいます。
- 分布が対称であれば、フィッシャーの非対称係数はゼロに等しくなります。逆は真ではありません。つまり、フィッシャー係数がゼロであるという事実は、分布が対称であることを必ずしも意味するわけではありません。
ピアソンの非対称係数
ピアソンの歪度係数は、サンプル平均と最頻値の差を標準偏差 (または標準偏差) で割ったものに等しくなります。したがって、ピアソンの非対称係数の式は次のようになります。
金
はピアソン係数、
算術平均、
ファッションと
標準偏差。
ピアソン歪度係数は、単峰分布の場合、つまりデータ内にモードが 1 つだけ存在する場合にのみ計算できることに注意してください。
一部の統計書籍ではピアソン歪度係数を最頻値ではなく中央値を使用して計算していますが、一般的には上記の式が使用されます。
ピアソンの非対称係数が計算されたら、その値は次の規則に従って解釈する必要があります。
- ピアソンの歪度係数が正の場合、分布が正に歪んでいることを意味します。
- ピアソンの歪度係数が負の場合、分布が負に歪んでいることを意味します。
- ピアソンの歪度係数がゼロの場合、分布が対称であることを意味します。
ボウリーの非対称係数
ボウリーの歪度係数は、第 3 四分位数と第 1 四分位数の合計から中央値の 2 倍を引いた値を、第 3 四分位数と第 1 四分位数の差で割ったものに等しくなります。したがって、この非対称係数の式は次のようになります。
金
そして
これらはそれぞれ第 1 四分位数と第 3 四分位数であり、
分布の中央値です。
分布の中央値が第 2 四分位数と一致することを思い出してください。
ボウリー係数の解釈は、前の 2 種類の非対称係数の場合と同じ方法で行われます。
- ボウリーの歪度係数が正の場合、分布は正に歪んでいます。
- ボウリーの歪度係数が負の場合、分布は負に歪んでいます。
- ボウリーの歪度係数が 0 の場合、分布は対称です。