2 つの割合の z 検定: 定義、公式、および例

2 つの比率の Z 検定は、 2 つの母集団比率の差を検定するために使用されます。

このチュートリアルでは次について説明します。

• 2 つの比率の Z 検定を実行する動機。
• 2 つの比率の z 検定を実行するための公式。
• 2 つの比率の Z 検定を実行する方法の例。

2 つの割合の Z テスト: モチベーション

A 郡の特定の法律を支持する住民の割合と B 郡の法律を支持する住民の割合に違いがあるかどうかを知りたいとします。

各郡には何千人もの住民がいるため、各郡の住民全員を訪問して調査するには時間と費用がかかりすぎます。

代わりに、各郡から 単純に無作為に住民のサンプルを採取し、各サンプルにおける法律を支持する割合を使用して、2 つの郡間の割合の本当の違いを推定することができます。

しかし、この法律を支持する住民の割合が 2 つのサンプル間で少なくとも多少異なることは事実上保証されています。問題は、この差が統計的に有意であるかどうかです。幸いなことに、2 つの比率の Z 検定を使用すると、この質問に答えることができます。

2 つの比例 Z 検定:式

2 つの割合の Z 検定では、常に次の帰無仮説が使用されます。

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (2 つの母集団の比率は等しい)

対立仮説は、左または右の両側に存在する可能性があります。

• H ₁ (両側): π ₁ ≠ π ₂ (2 つの母集団比率は等しくない)
• H ₁ (左): π ₁ < π ₂ (母集団 1 の割合は母集団 2 の割合より小さい)
• H ₁ (右): π ₁ > π ₂ (母集団 1 の割合が母集団 2 の割合より大きい)

次の式を使用して z 検定統計量を計算します。

z = (p ₁ -p ₂ ) / √ p(1-p)(1/n ₁ +1/n ₂ )

ここで、p ₁と p ₂はサンプルの割合、n ₁と n ₂はサンプル サイズ、p は次のように計算されたプールされた合計の割合です。

p = (p ₁ n ₁ + p ₂ n ₂ )/(n ₁ + n ₂ )

Z 検定統計量に対応する p 値が選択した有意水準 (一般的な選択肢は 0.10、0.05、および 0.01) より小さい場合、帰無仮説を棄却できます。

2 つの比率による Z 検定: 例

A 郡の特定の法律を支持する住民の割合と B 郡の法律を支持する住民の割合に違いがあるかどうかを知りたいとします。

これをテストするために、次の手順を使用して、有意水準 α = 0.05 で 2 つの割合の z 検定を実行します。

ステップ 1: サンプル データを収集します。

各郡からランダムに住民のサンプルを収集し、次の情報を取得したとします。

サンプル 1:

• サンプルサイズ n ₁ = 50
• 法律を支持する割合 p ₁ = 0.67

サンプル 2:

• サンプルサイズ n ₂ = 50
• 法律を支持する割合 p ₂ = 0.57

ステップ 2: 前提条件を定義します。

次の仮説を使用して 2 つの比率の z 検定を実行します。

• H ₀ : π ₁ = π ₂ (2 つの母集団の比率は等しい)
• H ₁ : π ₁ ≠ π ₂ (2 つの母集団比率は等しくありません)

ステップ 3: z検定統計量を計算します。

まず、プールされた合計割合を計算します。

p = (p ₁ n ₁ + p ₂ n ₂ )/(n ₁ +n ₂ ) = (0.67(50) + 0.57(50))/(50+50) = 0.62

次に、 z検定統計量を計算します。

z = (p ₁ -p ₂ ) / √ p(1-p)(1/n ₁ +1/n ₂ ) = (.67-.57) / √ .62(1-.62)(1/50) + 1/50 ) = 1.03

ステップ 4: z検定統計量の p 値を計算します。

P 値 Z スコア計算ツールによると、z = 1.03 に関連付けられた両側 p 値は0.30301です。

ステップ 5: 結論を導き出します。

この p 値は有意水準 α = 0.05 より低くないため、帰無仮説を棄却できません。この法律を支持する住民の割合が両郡で異なると言える十分な証拠はありません。

注: 2 比例 Z テスト計算ツールを使用するだけで、この 2 比率 Zテスト全体を実行することもできます。

追加リソース

次のチュートリアルでは、さまざまな統計ソフトウェアを使用して 2 つの比率の Z 検定を実行する方法を説明します。

Excel で 2 つの比率 Z 検定を実行する方法
SAS で 2 つの比率 Z テストを実行する方法
2 つの比例 Z テスト電卓