記憶のない財産とは何ですか？ (定義&例)

統計学では、将来のイベントが発生する確率が過去のイベントの発生によって影響されない場合、確率分布は記憶を持たない特性を持つと言われます。

記憶のない特性を持つ確率分布は 2 つだけです。

• 非負の実数による指数分布。
• 非負の整数による幾何分布。

これら 2 つの確率分布は、イベントが発生するまでの予想時間をモデル化するために使用されます。

特定の時点で、すでにどれくらいの時間が経過したかを知っていても、実際には、ある出来事が早く起こる可能性が高いか、それとも遅くなるかはわかりません。

次の例は、記憶のない特性をよりよく理解するのに役立ちます。

記憶を持たない財産の直観

次の例を考えてみましょう。

記憶がないわけではない

特定のブランドのラップトップは寿命が来るまでに平均約 6 年かかることが知られています。したがって、特定のラップトップが 5 年前のものであることがわかっている場合、そのラップトップが使用できなくなるまでの予想時間は非常に短くなります。ただし、別のラップトップがまだ 1 年しか使用していない場合、故障するまでの予想される時間はかなり長くなります。

この例では、各ラップトップの寿命中に経過した時間がわかれば、ラップトップが故障するまでどのくらいの時間動作し続けるかが分かります。したがって、この確率分布は記憶がなければ性質を持ちません。

記憶なし

ジェシカはコンビニエンスストアを経営していると思います。彼女は、次の顧客が店に入るまでどれくらい待たなければならないかを知りたいと考えています。

この例では、各顧客は独立しており、個別の行動を示すため、最後の顧客がいつ店舗に入店したかを知っていても、次の顧客がいつ入店するかを予測するのにはあまり役に立ちません。

したがって、この確率分布は記憶を持たない性質を持つことになります。言い換えれば、将来のイベントが発生する確率は、過去のイベントの発生には影響されません。

記憶を持たない性質: 正式な定義

正式な統計用語では、 aとbの場合、確率変数X は記憶を持たない性質を持つ確率分布に従うと言われます。   {0, 1, 2, …} では次のことが当てはまります:

Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )

たとえば、記憶のない特性を持つ確率分布があり、 Xが最初の成功までの試行回数であるとします。 a = 30、 b = 10 の場合、次のようになります。

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr(X > 30 + 10 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)
• Pr(X > 40 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)

言い換えれば、失敗した試行が 30 回ある場合、成功を経験するために試行 #40 以降まで待たなければならない確率は、最初から開始して試行 #10 まで待つ確率と同じです。またはそれ以上の成功を目指します。

この確率分布には記憶を持たない性質があるため、ある時点までの失敗の回数がわかっても、将来の失敗の確率については分からないことを意味します。

記憶のないプロパティ: 例

1 時間あたり平均 30 人の顧客が店舗に入店し、到着までの時間が指数関数的に分散すると仮定します。連続する訪問の間には平均して 2 分が経過します。

最後の顧客が到着してから 10 分が経過したとします。これが異常に長い時間を考えると、顧客は 1 分以内に到着する可能性が高いと思われます。

しかし、指数分布には記憶を持たない性質があるため、そうではありません。次の顧客が到着するまでの待ち時間は、最後の顧客が到着してからの時間には依存しません。

これは、指数分布の CDF を使用して証明できます。

CDF: 1 – e ^-λx

ここで、λ は 1/平均到着間隔時間として計算されます。この例では、λ = 1/2 = 0.5 です。

a = 10、 b = 1 と設定すると、次のようになります。

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr( ^X > 10 + 1 |

最後の顧客が到着してからどれだけの時間が経過したかに関係なく、次の顧客が到着するまでに 1 分以上かかる確率は0.6065です。