エラー伝播とは何ですか? (定義&例)
誤差の伝播は、不確かさδa 、 δb 、 δc … を伴ういくつかの量a 、 b 、 c 、 … を測定し、その後、 a 、 b 、 cなどの測定値を使用して別の量Qを計算する場合に発生します。
不確実性 δ a 、δ b 、 δcはQの不確実性まで伝播(つまり「拡散」) することがわかります。
δ Qで示されるQの不確実性を計算するには、次の式を使用できます。
注:以下の各式では、数量a 、 b 、 cなどが想定されています。ランダムで相関のないエラーが含まれています。
足し算または引き算
Q = a + b + … + c – (x + y + … + z) の場合
すると、δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
例:地面からウエストまでの長さを 40 インチ ± 0.18 インチで測定するとします。次に、人のウエストから頭のてっぺんまでの長さを 30 インチ ± 0.06 インチと測定します。
次に、これら 2 つの測定値を使用して人の身長の合計を計算するとします。高さは次のように計算されます: 40 インチ + 30 インチ = 70インチ。この推定の不確実性は次のように計算されます。
- δ Q = √ (δa) 2 + (δb) 2 + … + (δc) 2 + (δx) 2 + (δy) 2 + … + (δz) 2
- δ Q = √ (.18) 2 + (.06) 2
- δQ = 0.1897
これにより、最終測定値は70 ± 0.1897インチになります。
乗算または除算
Q = (ab…c) / (xy…z) の場合
すると、 δQ = |Q| となります。 * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
例:要素aの長さに対する要素bの長さの比率を測定するとします。 aの長さは 20 インチ± 0.34 インチ、 bの長さは 15 インチ ± 0.21 インチと測定します。
Q = a/bとして定義される比率は、20/15 = 1.333として計算されます。この推定の不確実性は次のように計算されます。
- δQ = |Q| * √ (δa/a) 2 + (δb/b) 2 + … + (δc/c) 2 + (δx/x) 2 + (δy/y) 2 + … + (δz/z) 2
- δQ = |1.333| * √ (.34/20) 2 + (.21/15) 2
- δQ = 0.0294
これにより、最終的な比率は1.333 ± 0.0294インチになります。
測定量に正確な数値を乗じたもの
Aが正確にわかっており、 Q = A x の場合
すると δ Q = |A|δx
例:円の直径を 5 メートル ± 0.3 メートルと測定するとします。次に、この値を使用して円周c = πdを計算します。
円周はc = πd = π*5 = 15.708として計算されます。この推定の不確実性は次のように計算されます。
- δQ = |A|δx
- δ Q = | π | * 0.3
- δQ = 0.942
したがって、円の円周は15.708 ± 0.942メートルとなります。
力の不確実性
nが正確な数値であり、 Q = x nの場合
この場合、δ Q = | Q | * | n | * (δx /x )
例:立方体の側面をs = 2 インチ± 0.02 インチとして測定するとします。次に、この値を使用して立方体の体積v = s 3を計算します。
体積は次のように計算されます: v = s 3 = 2 3 = 8 インチ3 。この推定の不確実性は次のように計算されます。
- δ Q = | Q | * | n | * (δx /x )
- δQ = |8| * |3| * (.02/2)
- δQ = 0.24
したがって、立方体の体積は8 ± 0.24 インチです。 ３ ．
一般的な誤差伝播公式
Q = Q(x) がxの関数である場合、一般的な誤差伝播式は次のように定義できます。
δQ = |dQ / dX |δx
これらの式を最初から導出する必要があることはほとんどありませんが、その導出に使用される一般的な式を知っておくと役立つ場合があることに注意してください。
著者について
ベンジャミン・アンダーソン博士
私はベンジャミンです。退職した統計教授から、専任の Statorials 教育者になりました。 統計分野における豊富な経験と専門知識を活かして、私は Statorials を通じて学生に力を与えるために自分の知識を共有することに尽力しています。もっと知る