全体確率の法則: 定義と例
確率論では、総確率の法則は、イベントAの確率が直接分からないが、イベントB 1 、 B 2 、 B 3 … が分割を形成していることがわかっている場合に、イベントAの確率を見つけるのに便利な方法です。サンプル空間Sの
この法律では次のことが規定されています。
全確率の法則
B 1 、 B 2 、 B 3 … がサンプル空間Sの分割を形成する場合、イベントAの確率を次のように計算できます。
P( A ) = ΣP( A | Bi ) *P( Bi )
この法則を理解する最も簡単な方法は、簡単な例を挙げることです。
箱の中に次のビー玉が入った袋が 2 つあるとします。
- バッグ 1:赤いビー玉 7 個と緑のビー玉 3 個
- バッグ 2:赤いビー玉 2 個と緑のビー玉 8 個
バッグの 1 つをランダムに選択し、そのバッグからビー玉をランダムに選択した場合、それが緑色のビー玉である確率はどれくらいですか?
この例では、P( G ) = 緑色のビー玉が選択される確率とします。私たちが関心を持つのは確率ですが、それを直接計算することはできません。
代わりに、 B i がサンプル空間Sの分割を形成するイベントBが与えられた場合に、 Gの条件付き確率を使用する必要があります。この例では、次の条件付き確率があります。
- P(G| B1 ) = 3/10 = 0.3
- P(G| B2 ) = 8/10 = 0.8
したがって、合計確率の法則を使用すると、緑色のビー玉が選択される確率を次のように計算できます。
- P(G) = ΣP(G|B i )*P(Bi )
- P(G) = P(G|B 1 )*P(B 1 ) + P(G|B 2 )*P(B 2 )
- P(G) = (0.3)*(0.5) + (0.8)*(0.5)
- P(G) = 0.55
バッグの 1 つをランダムに選択し、そのバッグからビー玉をランダムに選択した場合、緑色のビー玉が選択される確率は0.55です。
次の 2 つの例を読んで、合計確率の法則についての理解を深めてください。
例 1: ウィジェット
A 社は、ウィジェットの 80% を自動車工場に供給していますが、欠陥があることが判明したウィジェットは 1% だけでした。 B 社は残りの 20% のウィジェットを自動車修理工場に供給し、3% のウィジェットに欠陥があることが判明しました。
顧客が自動車修理工場から無作為にウィジェットを購入した場合、そのウィジェットに欠陥がある確率はどのくらいでしょうか?
P( D ) = ウィジェットに欠陥がある確率、 P(B i ) をそのウィジェットがいずれかの会社から提供されている確率とすれば、次のように欠陥のあるウィジェットを購入する確率を計算できます。
- P(D) = ΣP(D|B i )*P(Bi )
- P(D) = P(D|B 1 )*P(B 1 ) + P(D|B 2 )*P(B 2 )
- P(D) = (0.01)*(0.80) + (0.03)*(0.20)
- P(D) = 0.014
この自動車ストアからウィジェットをランダムに購入した場合、欠陥品である確率は0.014です。
例 2: 森林
森Aは、ある公園の総面積の50％を占めており、この森にある植物の20％は有毒です。森林 B は総面積の 30% を占め、そこに含まれる植物の 40% は有毒です。森林 C は領土の残り 20% を占めており、そこで見られる植物の 70% は有毒です。
もし私たちがこの公園にランダムに入って地面に落ちている植物を拾ったとしたら、それが有毒である可能性はどのくらいありますか?
P( P ) = 植物が有毒である確率、 P(B i )を 3 つの森林のいずれかに入った確率とすれば、ランダムに選択された植物が有毒である確率を次のように計算できます。
- P(P) = ΣP(P|B i )*P(Bi )
- P(P) = P(P|B 1 )*P(B 1 ) + P(P|B 2 )*P(B 2 ) + P(P|B 3 )*P(B 3 )
- P(P) = (0.20)*(0.50) + (0.40)*(0.30) + (0.70)*(0.20)
- P(P) = 0.36
地上からランダムに植物を選択した場合、それが有毒である確率は0.36です。
追加リソース
次のチュートリアルでは、確率のトピックに関する追加情報を提供します。
著者について
ベンジャミン・アンダーソン博士
私はベンジャミンです。退職した統計教授から、専任の Statorials 教育者になりました。 統計分野における豊富な経験と専門知識を活かして、私は Statorials を通じて学生に力を与えるために自分の知識を共有することに尽力しています。もっと知る