「少なくとも 3 回」成功する確率を求める方法
次の一般式を使用して、一連の試行における少なくとも 3 回の成功の確率を求めることができます。
P(at least 3) = 1 - P(0 successes) - P(1 success) - P(2 successes)
上の式では、次の二項分布の式を使用して各確率を計算できます。
P(X=k) = n C k * p k * (1-p) nk
金:
- n:試行回数
- k:成功回数
- p:与えられた試行の成功確率
- n C k : n回の試行でk 個の成功を得る方法の数
次の例は、この式を使用して、さまざまなシナリオで「少なくとも 3 回」成功する確率を求める方法を示しています。
例 1: フリースローの試行
タイはフリースロー試投の 25% を成功させます。彼がフリースローを 5 回試みた場合、少なくとも 3 回成功する確率を求めてください。
まず、彼がフリースローをちょうど 0 回、ちょうど 1 回、またはちょうど 2 回投げる確率を計算してみましょう。
P(X=0) = 5 C 0 * 0.25 0 * (1-0.25) 5-0 = 1 * 1 * 0.75 5 = 0.2373
P(X=1) = 5 C 1 * 0.25 1 * (1-0.25) 5-1 = 5 * 0.25 * 0.75 4 = 0.3955
P(X=2) = 5 C 2 * 0.25 2 * (1-0.25) 5-2 = 10 * 0.0625 * 0.75 3 = 0.2636
次に、これらの値を次の式に代入して、Ty が少なくとも 3 つのフリースローを行う確率を求めてみましょう。
- P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
- P(X≧3) = 1 – 0.2373 – 0.3955 – 0.2636
- P(X≧3) = 0.1036
Ty が 5 回の試行で少なくとも 3 回のフリースローを成功させる確率は0.1036です。
例 2: ウィジェット
特定の工場では、すべてのウィジェットの 2% に欠陥があります。 10 個のウィジェットのランダム サンプルにおいて、少なくとも 2 個が欠陥がある確率を決定します。
まず、正確に 0 つ、正確に 1 つ、または正確に 2 つが不良品である確率を計算してみましょう。
P(X=0) = 10 C 0 * 0.02 0 * (1-0.02) 10-0 = 1 * 1 * 0.98 10 = 0.8171
P(X=1) = 10 C 1 * 0.02 1 * (1-0.02) 10-1 = 10 * 0.02 * 0.98 9 = 0.1667
P(X=2) = 10 C 2 * 0.02 2 * (1-0.02) 10-2 = 45 * 0.0004 * 0.98 8 = 0.0153
次に、これらの値を次の式に代入して、少なくとも 3 つのウィジェットに障害がある確率を求めてみましょう。
- P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
- P(X≧3) = 1 – 0.8171 – 0.1667 – 0.0153
- P(X≧3) = 0.0009
この 10 個のランダム サンプル内で少なくとも 3 個のウィジェットに欠陥がある確率は0.0009です。
例 3: トリビアの質問
ボブはトリビアの質問の 60% に正解します。彼に 5 つのトリビアの質問をした場合、彼が少なくとも 3 つ正解する確率を求めてください。
まず、彼が正確に 0 つ、正確に 1 つ、または正確に 2 つ正解する確率を計算してみましょう。
P(X=0) = 5 C 0 * 0.60 0 * (1-0.60) 5-0 = 1 * 1 * 0.40 5 = 0.01024
P(X=1) = 5 C 1 * 0.60 1 * (1-0.60) 5-1 = 5 * 0.60 * 0.40 4 = 0.0768
P(X=2) = 5 C 2 * 0.60 2 * (1-0.60) 5-2 = 10 * 0.36 * 0.40 3 = 0.2304
次に、これらの値を次の式に代入して、彼が少なくとも 3 つの質問に正解する確率を求めてみましょう。
- P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
- P(X≧3) = 1 – 0.01024 – 0.0768 – 0.2304
- P(X≧3) = 0.6826
彼が 5 つの質問のうち少なくとも 3 つに正しく答える確率は0.6826です。
ボーナス: 少なくとも 3 つの確率計算ツール
この計算ツールを使用すると、特定の試行における成功の確率と試行の総数に基づいて、「少なくとも 3 回」の成功の確率が自動的に計算されます。