T 検定の自由度を計算する方法

統計学では、一般的に使用される t 検定が 3 つあります。

1 サンプル t 検定: 母集団の平均を特定の値と比較するために使用されます。

2 サンプル t 検定: 2 つの母集団平均を比較するために使用されます。

対応のあるサンプルの t 検定: 一方のサンプルの各観測値がもう一方のサンプルの観測値と関連付けられる場合に、2 つの母集団の平均を比較するために使用されます。

各 t 検定を実行するときは、検定統計量と対応する自由度を計算する必要があります。

各タイプのテストの自由度を計算する方法は次のとおりです。

1 サンプル t 検定: df = n-1ここで、 nは観測値の合計数です。

2 サンプル t 検定: df = n ₁ + n ₂ – 2ここで、 n ₁ 、 n ₂は各サンプルの合計観測値です。

ペアのあるサンプルの t 検定: n-1ここで、 nはペアの総数です。

次の例は、実際に各タイプの t 検定の自由度を計算する方法を示しています。

例 1: 1 サンプルの t 検定の自由度

特定の種のカメの平均体重が 310 ポンドに等しいかどうかを知りたいとします。

次の情報を含むカメのランダムなサンプルを収集するとします。

• サンプルサイズ n = 40
• 平均サンプル重量x = 300
• サンプル標準偏差 s = 18.5

次の仮説を使用して 1 サンプルの t 検定を実行します。

• H ₀ : μ = 310 (母集団の平均は 310 冊に等しい)
• H _A : μ ≠ 310 (母集団平均は 310 ポンドに等しくありません)

まず、検定統計量を計算します。

t = ( x – μ) / (s/ √n ) = (300-310) / (18.5/ √40 ) = -3.4187

次に、自由度を計算します。

df = n -1 = 40 – 1 = 39

最後に、検定統計量と自由度をP 値 T スコア計算ツールに接続して、p 値が0.00149であることを確認します。

この p 値は有意水準 α = 0.05 を下回っているため、帰無仮説を棄却します。このカメ種の平均体重が 310 ポンドに等しくないという十分な証拠があります。

例 2: 2 サンプルの t 検定の自由度

2 つの異なる種のカメの平均体重が等しいかどうかを知りたいとします。

次の情報を使用して、各集団からランダムにカメのサンプルを収集するとします。

サンプル 1:

• サンプルサイズ n ₁ = 40
• 平均サンプル重量x ₁ = 300
• サンプル標準偏差 s ₁ = 18.5

サンプル 2:

• サンプルサイズ n ₂ = 38
• 平均サンプル重量x ₂ = 305
• サンプル標準偏差 s ₂ = 16.7

次の仮定を使用して 2 サンプルの t 検定を実行します。

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (2 つの母集団平均は等しい)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (2 つの母集団平均は等しくありません)

まず、プールされた標準偏差 s _pを計算します。

s _p = √ (n ₁ -1)s ₁ ² + (n ₂ -1)s ₂ ² / (n ₁ +n ₂ -2) = √ ( 40-1)18.5 ² + (38-1) 16.7 ² / (40+38-2) = 17.647

次に、 t検定統計量を計算します。

t = ( x ₁ – x ₂ ) / s _p (√ 1/n ₁ + 1/n ₂ ) = (300-305) / 17.647(√ 1/40 + 1/38 ) = -1.2508

次に、自由度を計算します。

df = n ₁ + n ₂ – 2 = 40 + 38 – 2 = 76

最後に、検定統計量と自由度をP 値 T スコア計算ツールに接続して、p 値が0.21484であることを確認します。

この p 値は有意水準 α = 0.05 より低くないため、帰無仮説を棄却できません。これら 2 つの個体群のカメの平均体重が異なると言える十分な証拠はありません。

例 3: 対応のあるサンプルの t 検定の自由度

特定のトレーニング プログラムが大学バスケットボール選手の最大垂直ジャンプ (インチ単位) を向上させることができるかどうかを知りたいとします。

これをテストするために、20 人の大学バスケットボール選手の 単純なランダム サンプルを採用し、それぞれの最大垂直ジャンプを測定できます。次に、各プレーヤーにトレーニング プログラムを 1 か月間使用してもらい、月末に最大垂直跳びを再度測定します。

トレーニング プログラムが実際に最大垂直ジャンプに影響を与えたかどうかを判断するために、対応のあるサンプルの t 検定を実行します。

まず、差異に関する次の概要データを計算します。

• x _diff : 差のサンプル平均 = -0.95
• s: 差異のサンプル標準偏差 = 1.317
• n: サンプルサイズ (ペアの数) = 20

次の仮定を使用して、対応のあるサンプルの t 検定を実行します。

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (2 つの母集団平均は等しい)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (2 つの母集団平均は等しくありません)

次に、テスト統計を計算します。

t = x _diff / (s _diff /√n) = -0.95 / (1.317/√20) = -3.226

次に、自由度を計算します。

df = n – 1 = 20 – 1 = 19

P 値に対する T スコアの計算ツールによると、t = -3.226 および自由度 = n-1 = 20-1 = 19 に関連付けられた p 値は0.00445です。

この p 値は有意水準 α = 0.05 を下回っているため、帰無仮説を棄却します。トレーニングプログラムに参加する前と後で、プレーヤーの平均最大垂直ジャンプが異なると言える十分な証拠があります。

追加リソース

次の計算ツールを使用すると、提供したデータに基づいて t 検定を自動的に実行できます。

t 検定計算機の例
2 サンプル t 検定計算機
対応のあるサンプルの t 検定計算機