A と b の確率を求める方法: 例付き

2 つのイベント A と B が与えられた場合、「A と B の確率を求める」とは、イベント A とイベント B の両方が発生する確率を求めることを意味します。

通常、この確率は次の 2 つの方法で記述されます。

• P(A および B) – 書面形式
• P(A∩B) – 形式表記

この確率をどのように計算するかは、イベント A と B が独立しているか依存しているかによって異なります。

A と B が独立している場合、P(A∩B) の計算に使用する式は次のとおりです。

 Independent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B)

A と B が従属している場合、P(A∩B) の計算に使用する式は次のとおりです。

 Dependent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

P(B|A) は、次の場合にイベント B が発生する条件付き確率であることに注意してください。  イベントAが発生します。

次の例は、これらの公式を実際に使用する方法を示しています。

独立したイベントの P(A∩B) の例

次の例は、A と B が独立したイベントである場合に P(A∩B) を計算する方法を示しています。

例 1:あなたのお気に入りの野球チームがワールド シリーズで優勝する確率は 1/30 で、あなたのお気に入りのフットボール チームがスーパー ボウルで優勝する確率は 1/32 です。あなたのお気に入りの 2 チームがそれぞれのチャンピオンシップで優勝する確率はどれくらいですか?

解決策:この例では、各イベントの発生確率は互いに独立しています。したがって、両方が発生する確率は次のように計算されます。

P(A∩B) = (1/30) * (1/32) = 1/960 = .00104。

例 2:サイコロを振ると同時にコインを投げます。サイコロが 4 に出て、コインが裏になる確率はどれくらいですか?

解決策:この例では、各イベントの発生確率は互いに独立しています。したがって、両方が発生する確率は次のように計算されます。

P(A∩B) = (1/6) * (1/2) = 1/12 = 0.083333。

依存イベントの P(A∩B) の例

次の例は、A と B が依存イベントである場合に P(A∩B) を計算する方法を示しています。

例 1:壺には赤いボールが 4 つ、緑色のボールが 4 つ入っています。あなたは壺からランダムにボールを選びます。次に、交換せずに別のボールを選択します。毎回赤いボールを選ぶ確率はどれくらいですか?

解決策:この例では、最初に選択したボールの色が、2 回目に赤いボールを選択する確率に影響します。したがって、2 つのイベントは依存関係にあります。

イベント A を、最初に赤いボールが選択される確率として定義しましょう。この確率は P(A) = 4/8 です。次に、最初のボールが赤だったとして、再び赤いボールが選択される確率を見つける必要があります。この場合、選択できる赤いボールは 3 つだけ残っており、壺の中には合計 7 つのボールしかありません。したがって、P(B|A) は 3/7 です。

したがって、毎回赤いボールを選択する確率は次のように計算されます。

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (4/8) * (3/7) = 0.214。

例 2:あるクラスには、男子 15 人、女子 12 人がいます。鞄の中に生徒一人一人の名前を入れたとします。バッグの中からランダムでお名前を決めさせていただきます。次に、置換せずに別の名前を選択します。両方の名前が男の子である確率はどれくらいですか?

解決策:この例では、最初に選択した名前が、2 回目の抽選で男の子の名前を選択する確率に影響します。したがって、2 つのイベントは依存関係にあります。

イベント A を、初めて男の子を選択する確率として定義しましょう。この確率は P(A) = 15/27 です。次に、下の名前が男の子だったとして、再び男の子を選択する確率を見つける必要があります。この場合、選択できるのは 14 人の男の子だけであり、バッグには合計 26 人の名前しかありません。したがって、P(B|A) は 14/26 です。

したがって、毎回男の子の名前を選択する確率は次のように計算されます。

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (15/27) * (14/26) = 0.299。