A または b の確率を求める方法: 例付き

2 つの事象 A と B が与えられた場合、「A または B の確率を求める」とは、事象 A または事象 B が発生する確率を求めることを意味します。

通常、この確率は次の 2 つの方法で記述されます。

• P(A または B) – 書面形式
• P(A∪B) – 形式表記

この確率をどのように計算するかは、イベント A と Bが相互に排他的であるかどうかによって異なります。 2 つのイベントは、同時に発生できない場合、相互に排他的です。

A と Bが相互に排他的な場合、P(A∪B) の計算に使用する式は次のとおりです。

 Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B)

A と Bが相互に排他的でない場合、P(A∪B) の計算に使用する式は次のとおりです。

 Not Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

P(A∩B) はイベント A とイベント B の両方が発生する確率であることに注意してください。

次の例は、これらの公式を実際に使用する方法を示しています。

例: 相互に排他的なイベントの場合は P(A∪B)

例 1:サイコロを振って 2 または 5 が出る確率はどれくらいですか?

解決策:イベント A を 2 を出すものとして定義し、イベント B を 5 を出すものとして定義すると、2と5 を同時に出すことはできないため、これら 2 つのイベントは相互に排他的になります。したがって、2 または 5 が得られる確率は次のように計算されます。

P(A∪B) = (1/6) + (1/6) = 2/6 = 1/3。

例 2:壺に赤いボールが 3 つ、緑色のボールが 2 つ、黄色のボールが 5 つ入っているとします。ランダムにボールを選択した場合、赤いボールまたは緑色のボールが選択される確率はどれくらいですか?

解決策:イベント A を赤のボールの選択として定義し、イベント B を緑のボールの選択として定義すると、赤と緑のボールを一度に 1 つずつ選択できないため、これら 2 つのイベントは相互に排他的になります。したがって、赤または緑のボールが選択される確率は次のように計算されます。

P(A∪B) = (3/10) + (2/10) = 5/10 = 1/2。

例:相互に排他的でないイベントの場合はP(A ∪ B)

次の例は、A と B が相互に排他的なイベントではない場合に、P(A∪B) を計算する方法を示しています。

例 1: 52 枚の標準的なカードのデッキからカードをランダムに選択した場合、スペードまたはクイーンのいずれかを選択する確率はどれくらいですか?

解決策:この例では、スペードとクイーンの両方であるカードを選択できるため、これら 2 つのイベントは相互に排他的ではありません。

イベント A をスペードを選択するイベント、イベント B をクイーンを選択するイベントとすると、確率は次のようになります。

• P(A) = 13/52
• P(B) = 4/52
• P(A∩B) = 1/52

したがって、スペードまたはクイーンのいずれかを選択する確率は次のように計算されます。

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (13/52) + (4/52) – (1/52) = 16/52 = 4/13。

例 2:サイコロを振った場合、サイコロが 3 より大きい数または偶数になる確率はどれくらいですか?

解決策:この例では、サイコロが 3 より大きい数字と偶数の数字の両方に出る可能性があるため、これら 2 つのイベントは相互に排他的ではありません。

イベント A を 3 より大きい数値を取得するイベント、イベント B を偶数を取得するイベントとすると、次の確率が得られます。

• P(A) = 3/6
• P(B) = 3/6
• P(A∩B) = 2/6

したがって、サイコロが 3 より大きい数字または偶数の数字に当たる確率は次のように計算されます。

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (3/6) + (3/6) – (2/6) = 4/6 = 2/3。