Z 検定

によるベンジャミン・アンダーソン博士 8月 3, 2023 統計 0コメント

この記事では、統計における Z 検定とは何か、またその用途について説明します。したがって、Z 検定の実行方法、さまざまな Z 検定の公式、そして最後に、Z 検定と他の統計検定の違いを理解することができます。

Z テストとは何ですか?

統計学におけるZ 検定は、検定統計量が正規分布に従う場合に使用される仮説検定です。 Z 検定から得られる統計量は、Z 統計量または Z 値と呼ばれます。

Z 検定の式は常に同じです。より正確には、Z 検定の統計量は、計算されたサンプル値と提案された母集団の値の差を母集団パラメーターの標準偏差で割ったものに等しくなります。

$Z=\cfrac{\widehat{X}-X}{\sigma_{_X}}$

Z 検定は、検定統計量が正規分布に従う仮説検定の帰無仮説を棄却または受け入れるために使用されます。

たとえば、Z 検定は、母集団の分散がわかっている場合に、母集団の平均値に関する仮説を棄却または受け入れるために、平均の仮説を検定するために使用されます。

➤参照:仮説検定とは何ですか?

Z テストの種類

仮説検定が実行されるパラメーターに応じて、さまざまなタイプの Z 検定を区別できます。

平均値の Z 検定。
比率の Z 検定。
平均の差の Z 検定。
比率の差についての Z 検定。

以下に、Z テストの各タイプの式を示します。

平均値の Z 検定

平均値の Z 検定式は次のとおりです。

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

金：

$Z$

は、平均値の Z 検定統計量です。
$\overline{x}$

はサンプル平均です。
$\mu$

は提案された平均値です。
$\sigma$

は母集団の標準偏差です。
$n$

はサンプルサイズです。

平均の仮説検定統計量が計算されると、その結果は帰無仮説を棄却または棄却すると解釈される必要があります。

平均値の仮説検定が両側である場合、統計量の絶対値が臨界値 Z _α/2より大きい場合、帰無仮説は棄却されます。
平均の仮説検定が右裾に一致する場合、統計量が臨界値 Z _αより大きい場合、帰無仮説は棄却されます。
平均の仮説検定が左裾に一致する場合、統計量が臨界値 -Z _αより小さい場合、帰無仮説は棄却されます。

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Z 検定の臨界値は標準正規分布表から得られます。

➤参照:平均値の仮説検定

比率の Z 検定

比率の Z 検定式は次のとおりです。

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

金：

$Z$

は割合の Z 検定統計量です。
$\widehat{p}$

はサンプルの割合です。
$p$

提案された比率の値です。
$n$

はサンプルサイズです。
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

は比率の標準偏差です。

比率の Z 検定統計量を計算するだけでは十分ではなく、得られた結果を解釈する必要があることに注意してください。

比率の仮説検定が両側である場合、統計量の絶対値が臨界値 Z _α/2より大きい場合、帰無仮説は棄却されます。
比率の仮説検定が右裾に一致する場合、統計量が臨界値 Z _αより大きい場合、帰無仮説は棄却されます。
割合の仮説検定が左裾に一致する場合、統計量が臨界値 -Z _αより小さい場合、帰無仮説は棄却されます。

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

➤参照:比率の仮説検定

平均値の差の Z 検定

平均の差の Z 検定統計量を計算する式は次のとおりです。

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

金：

$Z$

は、既知の分散を持つ 2 つの平均の差の Z 検定統計量であり、標準正規分布に従います。
$\mu_1$

は母集団 1 の平均です。
$\mu_2$

は母集団 2 の平均です。
$\overline{x_1}$

はサンプル 1 の平均です。
$\overline{x_2}$

はサンプル 2 の平均です。
$\sigma_1$

は母集団 1 の標準偏差です。
$\sigma_2$

は母集団 2 の標準偏差です。
$n_1$

サンプルサイズは1です。
$n_2$

サンプルサイズは2です。

➤参照:平均の差の仮説検定

比率の差の Z 検定

2 つの母集団の比率の差に関する Z 検定統計量を計算する式は次のとおりです。

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$