ベルヌーイ分布

によるベンジャミン・アンダーソン博士 8月 4, 2023 確率 0コメント

この記事では、ベルヌーイ分布とは何か、またその公式が何であるかを説明します。さらに、ベルヌーイ分布の特性と、その意味をより深く理解するための解決済み演習も見つかります。

ベルヌーイ分布とは何ですか?

二分分布としても知られるベルヌーイ分布は、「成功」または「失敗」という 2 つの結果のみを持つことができる離散変数を表す確率分布です。

ベルヌーイ分布では、「成功」は期待される結果であり、値は 1 ですが、「失敗」は期待以外の結果であり、値は 0 です。つまり、「」の結果の確率が「成功」がpである場合、「失敗」の結果の確率はq=1-pです。

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

ベルヌーイ分布は、スイスの統計学者ジェイコブベルヌーイにちなんで命名されました。

統計学では、ベルヌーイ分布には主に 1 つの用途があります。それは、成功と失敗の 2 つの結果しか存在しない実験の確率を定義することです。したがって、ベルヌーイ分布を使用する実験は、ベルヌーイテストまたはベルヌーイ実験と呼ばれます。

ベルヌーイ分布式

pが「成功」という結果が発生する確率である場合、ベルヌーイ分布の確率は、 p をxに累乗した値に1-pを累乗した1-x を乗算した値に等しくなります。したがって、ベルヌーイ分布の確率は次の式を使用して計算できます。

ベルヌーイ分布では、 xの値は 0 (失敗) または 1 (成功) のみであることに注意してください。

一方、前の式は次の等価式を使用して書くこともできます。

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.$

ベルヌーイ分布の例

ベルヌーイ分布の定義とその公式がわかったところで、ベルヌーイ分布の具体的な例を見てみましょう。

ゲームに勝つには、プレーヤーはサイコロを振って 2 を出さなければなりません。そうでない場合は、別のプレーヤーがゲームに勝つため、ゲームは負けます。成功と失敗の確率を計算します。

サイコロには 6 つの可能な結果 (1、2、3、4、5、6) があるため、この場合、実験のサンプル空間は次のようになります。

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

この場合、成功する唯一のケースは 2 番を取得することなので、ラプラスの法則を適用した場合の成功確率は、1 を考えられる結果の総数で割った値 (6) に等しくなります。

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

一方、サイコロを振って別の数字が出た場合、プレイヤーはゲームに負けるため、実験の結果は失敗とみなされます。したがって、この確率は、前に計算した確率を 1 から引いたものに相当します。

$q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333$

つまり、この実験のベルヌーイ分布は次の式で定義されます。

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.$

以下に示すように、ベルヌーイ分布の確率は、上記の公式を適用することによっても求めることができます。

$P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}$

$\displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}$

$\displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}$

ベルヌーイ分布の特徴

以下に、ベルヌーイ分布の最も重要な特徴を示します。

ベルヌーイ分布は、値 1 (成功) または 0 (失敗) のみを取ることができます。

$x=\{0\ ; 1\}$

ベルヌーイ分布の平均は、「成功」結果の発生確率に相当します。

$E[X]=p$

ベルヌーイ分布の分散は、結果「成功」と「失敗」の発生確率を乗算することで計算できます。または、同等に、分散はp倍1-pです。

$Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)$

ベルヌーイ分布のモードの値は、「成功」と「失敗」の確率に依存します。したがって、このタイプの分布のモードは次の式で定義されます。

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

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一方、ベルヌーイ分布の累積確率関数は次の式で定義されます。

$\displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x<0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x<1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.$

ベルヌーイ分布の非対称係数は次の式で計算されます。

$A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}$

同様に、ベルヌーイ分布の尖度はパラメーターpの値に依存し、次の式を適用することで求めることができます。

$C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}$

ベルヌーイ分布と二項分布

このセクションでは、ベルヌーイ分布と二項分布は関連する 2 種類の確率分布であるため、両者の違いを見ていきます。

二項分布は、一連のベルヌーイ試行から得られた「成功」結果の数をカウントします。これらのベルヌーイ実験は独立している必要がありますが、成功の確率が同じでなければなりません。

したがって、二項分布は、ベルヌーイ分布に従う一連の変数の合計であり、すべて同じパラメーターpによって定義されます。

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}$

したがって、ベルヌーイ分布ではベルヌーイ実験が 1 つだけ存在しますが、二項分布では一連のベルヌーイ実験が存在します。

著者について

ベンジャミン・アンダーソン博士

私はベンジャミンです。退職した統計教授から、専任の Statorials 教育者になりました。統計分野における豊富な経験と専門知識を活かして、私は Statorials を通じて学生に力を与えるために自分の知識を共有することに尽力しています。もっと知る