乗算ルール

この記事では、確率論における乗算ルール (積ルールとも呼ばれる) が何であるかについて説明します。したがって、乗算規則の公式とは何か、乗算規則を使用して確率を計算する方法の例、さらにいくつかの解決された練習問題がわかります。

乗算ルールはイベントが独立しているか依存しているかによって異なります。そのため、最初に独立イベントについてルールがどのようになるかを確認し、その後、依存イベントについてルールを確認します。

独立したイベントの乗算ルール

独立したイベントは、発生確率が互いに依存しない統計実験の結果であることに注意してください。言い換えれば、イベント A の発生確率がイベント B の発生に依存しない場合、2 つのイベント A と B は独立しています。逆も同様です。

独立したイベントの乗算ルールの式

したがって、独立したイベントの乗算ルールの式は次のようになります。

金：

• 

  そして

  

  これらは 2 つの独立したイベントです。

• 

  はイベント A とイベント B が発生する同時確率です。

• 

  はイベント A が発生する確率です。

• 

  はイベント B が発生する確率です。

独立したイベントの乗算ルールの例

• コインを3回続けて投げます。 3 回のトスすべてで表になる確率を計算します。

この場合、抽選の結果は前の抽選で得られた結果に依存しないため、同時確率を計算したいイベントは独立しています。したがって、3 つの連続した表が得られる結合確率を決定するには、独立したイベントに対して乗算ルールの式を使用する必要があります。

コインを投げるとき、考えられる結果は 2 つだけです。表か裏かです。したがって、コインを投げたときに表か裏が出る確率は次のようになります。

したがって、3 回のコイン投げすべてで表が出る確率を求めるには、表が出る確率を 3 倍する必要があります。

つまり、3回連続で表が出る確率は12.5%ということになります。

以下に、考えられるすべてのイベントをその確率とともに樹形図で表します。こうすることで、同時確率を取得するために従ったプロセスをよりよく確認できます。

依存イベントの乗算ルール

独立したイベントの乗算ルールがどのようなものであるかを見てきました。次は、式が少し異なるため、依存イベントの場合、この法則がどのようになるかを見てみましょう。

依存イベントは、発生確率が互いに依存するランダムな実験の結果であることに注意してください。つまり、1 つのイベントの発生確率がもう 1 つのイベントの発生確率に影響を与える場合、2 つのイベントは依存関係にあります。

依存イベントの乗算ルール式

したがって、依存イベントの乗算ルールの式は次のようになります。

金：

• 

  そして

  

  これらは 2 つの依存イベントです。

• 

  イベント A とイベント B が発生する確率です。

• 

  はイベント A が発生する確率です。

• 

  イベント A が与えられた場合にイベント B が発生する条件付き確率です。

依存イベントの乗算ルールの例

• 空の箱に青いボール 8 個、オレンジ色のボール 4 個、緑色のボール 2 個を入れます。最初に 1 つのボールを引き、次に引いた最初のボールをボックスに戻さずに別のボールを引いた場合、最初のボールが青で 2 番目のボールがオレンジになる確率はいくらですか?

この場合、2 回目の抽選でオレンジ色のボールを拾う確率は、最初の抽選で引いたボールの色に依存するため、イベントは依存します。したがって、結合確率を計算するには、依存イベントの乗算ルール式を使用する必要があります。

最初の抽選で青いボールが得られる確率は簡単に決定できます。青いボールの数をボールの総数で割るだけです。

一方、青いボールを受け取った後にオレンジ色のボールを引く確率は、オレンジ色のボールの数が異なり、さらにボックス内のボールが 1 つ少ないため、異なる方法で計算されます。

したがって、最初に青いボールを引き、次にオレンジ色のボールを引く同時確率は、上記の 2 つの確率を乗算することによって計算されます。

乗算ルールの演習問題を解決しました

演習 1

ある町には保育園が 3 つしかありません。60% の子供たちが A 保育園に、30% が B 保育園に、10% が C 保育園に通っています。さらに、3 つの保育園では、55% が女の子です。次の確率を計算します。

• 保育園 B から子供がランダムに選ばれた場合、その子供が女の子である確率。
• 任意の保育園から子供がランダムに選ばれた場合、その子供が男の子である確率。

すべての保育園における女子の割合が 55% の場合、男子の割合は 1 から 0.55 を引くだけで計算されます。

すべての確率がわかったので、すべての可能性の確率を含むツリーを作成できます。

この場合、男の子か女の子である確率は選択した保育園に依存しないため、イベントは独立しています。したがって、保育園 B から女の子をランダムに選択する確率を求めるには、保育園 B を選択する確率と女の子を選択する確率を掛ける必要があります。

一方、保育園で男の子を選択する確率を決定するには、まず各保育園で男の子を選択する確率を計算し、それらを合計する必要があります。

演習 2

ある国の 25 社の会計年度と、その年の経済結果に応じて株価がどのように変化するかを調査しました。収集されたデータは次の分割表で確認できます。

企業が利益を上げ、株価が上昇する可能性はどのくらいですか?

この場合、株価が上がるか下がるかの確率は経済の結果に依存するため、イベントは依存します。したがって、依存イベントに乗算ルールの式を適用する必要があります。

したがって、最初に企業が利益を上げる確率を計算し、次に、経済的利益が得られたときに企業の株式が増加する確率を計算します。

次に、計算された値を式に代入して結合確率を計算します。