事象の結合の確率

この記事では、イベントの結合確率を計算する方法を説明します。したがって、イベントの結合の確率の公式が何であるかを確認し、さらに、段階的に解決される演習を行います。

出来事の結合とは何ですか?

確率理論では、イベントの結合はイベント操作であり、その結果は操作セットのすべての基本イベントで構成されます。言い換えれば、2 つのイベント A と B の和集合は、A、B、またはその両方にあるイベントのセットです。

2 つのイベントの結合は記号 ⋃ で表されます。したがって、イベント A と B の和集合は A⋃B と書かれます。

たとえば、サイコロを振るランダムな実験で、1 つのイベントが奇数の目 A={1, 3, 5} を出し、別のイベントが 3 より小さい数 B={1, 2} を出した場合、2 つの和集合はイベントは A⋃B={1, 2, 3, 5} です。

事象の結合確率の公式

2 つのイベントが結合する確率は、最初のイベントの確率に 2 番目のイベントの確率を加えたものから、2 つのイベントが交差する確率を引いたものに等しくなります。

つまり、 2 つのイベントが結合する確率の公式は、P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B) となります。

金：

• 

  はイベント A とイベント B が結合する確率です。

• 

  はイベント A が発生する確率です。

• 

  はイベント B が発生する確率です。

• 

  イベント A とイベント B の交差の確率です。

ただし、2 つのイベントに互換性がない場合、2 つのイベント間の交差はゼロになります。したがって、2 つの互換性のないイベントが結合する確率は、各イベントの発生確率を加算することによって計算されます。

イベントの結合確率の解決例

2 つのイベントが結合する確率がどのように計算されるかを理解できるように、ステップごとに解決された 2 つの例を以下に示します。計算が若干異なるため、最初に 2 つの互換性のないイベントの結合の確率を求め、次に 2 つの互換性のあるイベントの結合の確率を求めます。

2 つの矛盾したイベントが結合する確率

• 青いボール10個、オレンジのボール6個、緑色のボール4個を箱に入れました。青またはオレンジのボールを引く確率はどれくらいですか?

この演習では、あるイベントまたは別のイベントが発生する確率を決定するように求められます。したがって、問題を解決するには、2 つのイベントの和集合の公式を使用する必要があります。

したがって、最初にラプラスの法則の公式を使用して、各イベントが個別に発生する確率を計算します。

ただし、この場合、これら 2 つのイベントは互換性がないため、両方のイベントを同時に発生させることはできません。したがって、青いボールを描くとオレンジ色のボールを描くことはできなくなり、その逆も同様です。

したがって、両方のイベントの同時確率はゼロであるため、式は簡略化されます。

したがって、青いボールまたはオレンジ色のボールをキャッチする確率の計算は次のようになります。

つまり、ボックスから青またはオレンジのボールが取り出される確率は 80% です。

2 つの互換性のあるイベントが結合する確率

• コインを 2 回投げた場合、少なくとも 1 回のトスで表が出る確率はどれくらいですか?

この場合、最初のスローで「表」が得られ、2 番目のスローで「裏」が得られるため、イベントは互換性があります。したがって、イベントの結合確率を計算する式は簡略化されず、次のようになります。

したがって、最初にラプラスの法則を適用して、コイントスで「表」が出る確率を計算する必要があります。

次に、乗算規則の式を使用して 2 つのイベントの交差の確率を計算しましょう。

最後に、2 回のトスのうち少なくとも 1 回で表が出る確率を調べるには、式に値を代入して計算します。

結論として、コインを 2 回投げたときに、少なくとも 1 回は表が出る確率は 75% です。

イベントユニオンのプロパティ

確率理論では、イベントの結合の機能は次の特性を満たします。

• 可換性プロパティ:共用体内のイベントの順序は操作の結果を変更しません。

• 結合プロパティ: 3 つのイベントの和集合は、結果が同じであるため、任意の順序で計算できます。

• 分配特性:イベントの結合により、イベントの交差により分配特性が実現されます。