分散

によるベンジャミン・アンダーソン博士 8月 5, 2023 統計 0コメント

この記事では、分散とも呼ばれる分散とは何か、またその計算方法について説明します。分散の公式、分散計算の具体例が記載されており、さらにオンライン計算機を使用して任意のデータセットの分散を計算することができます。

また、グループ化されたデータの分散を別の方法で見つける方法も示します。最後に、母集団の分散と標本分散の違い、分散と標準偏差の違い、およびこの統計的尺度の特性について説明します。

分散とは何ですか?

統計学における分散は、確率変数の変動性を示す分散の尺度です。分散は、残差の二乗和を観測値の総数で割ったものに等しくなります。

残差は、統計データポイントの値とデータセットの平均の差として理解されることに注意してください。

確率論では、分散の記号はギリシャ文字のシグマ二乗 (σ ² ) です。通常はVar(X)としても表されますが、 X は分散の計算元となる確率変数です。

一般に、確率変数の分散値の解釈は簡単です。分散値が大きいほど、データはより分散しています。逆も同様で、分散値が小さいほど、データ系列の分散は少なくなります。ただし、分散を解釈するときは、外れ値によって分散値が歪められる可能性があるため、外れ値に注意する必要があります。

分散、分散以外に考慮される他の尺度には、範囲、標準偏差、平均偏差、および変動係数があります。

ギャップの計算方法

分散を計算するには、次の手順を実行する必要があります。

データセットの算術平均を求めます。
データセットの値と平均の差として定義される残差を計算します。
各余りを二乗します。
前のステップで計算されたすべての結果を加算します。
データの総数で割ります。得られる結果は、データ系列の分散です。

結論として、データセットの分散を計算する式は次のとおりです。

金：

$X$

分散を計算する確率変数です。
$x_i$

データ値です

$i$

。
$n$

観測値の合計数です。
$\overline{X}$

確率変数の平均です

$X$

。

👉以下の計算機を使用して、任意のデータセットの分散を計算できます。

したがって、データ系列から分散を抽出するには、算術平均の計算方法を理解しておくことが不可欠です。これを行う方法を覚えていない場合は、上記のリンク先の記事で確認してください。

偏差の例

分散の定義がわかったので、データ系列の分散がどのように取得されるかを確認できるように、段階的に演習を解いていきます。

多国籍企業の過去 5 年間の経済的成果は知られており、大部分は利益を得ましたが、ある年には 1,150 万、2、9、700 万ユーロという多大な損失を出しました。このデータセットの分散を計算します。

上の説明で見たように、データ系列の分散を見つけるために最初に行う必要があるのは、その算術平均を計算することです。

$\overline{X}=\cfrac{11+5+2+(-9)+7}{5}=3,2$

データの平均値がわかったら、分散の公式を使用できます。

$Var(X)=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{X}\right)^2}{n}$

演習ステートメントで提供されるデータを式に代入します。

$Var(X)=\cfrac{\displaystyle (11-3,2)^2+(5-3,2)^2+(2-3,2)^2+(-9-3,2)^2+(7-3,2)^2}{5}$

最後に、残っているのは、分散を計算するための演算を解くことだけです。

$\begin{aligned}Var(X)&=\cfrac{7,8^2+1,8^2+(-1,2)^2+(-12,2)^2+3,8^2}{5}\\[2ex]&=\cfrac{60,84+3,24+1,44+148,84+14,44}{5}\\[2ex]&= \cfrac{228,8}{5} \\[2ex]&=45,76 \ \text{millones de euros}^2\end{aligned}$

分散単位は統計データの単位と同じですが二乗されていることに注意してください。このため、このデータグループの分散は 4,576 万ユーロ²です。

ギャップ計算機

次の計算機に統計データセットを入力して、その分散を計算します。データはスペースで区切られ、小数点としてピリオドを使用して入力する必要があります。

グループ化されたデータの分散

間隔にグループ化されたデータの分散を計算するには、次の手順に従う必要があります。

グループ化されたデータの平均を求めます。
グループ化されたデータの残差を計算します。
各余りを二乗します。
以前の各結果にその間隔の頻度を掛けます。
前のステップで取得したすべての値の合計を加算します。
観測値の合計数で割ります。結果として得られる数値は、グループ化されたデータの分散です。

つまり、間隔にグループ化されたデータの分散を計算する式は次のようになります。

$Var(X)=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{X}\right)^2\cdot f_i }{n}$

通常は上記の式が使用されますが、以下の代数式も同等であるため使用できます。

$Var(X)=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2\cdot f_i }{n}-\overline{X}^2$

例として、次のグループ化されたデータ系列の分散を求めます。

まず、グループ化されたデータの平均を決定する必要があります。これを行うには、クラスマークと頻度の積を含む列を頻度テーブルに追加します。

ここで、追加した列の合計をデータの総数で割ることにより、グループ化されたデータの平均を計算します。

$\overline{X}=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i\cdot f_i}{n}=\cfrac{750}{30}=25$

そして、計算されたデータの平均から、次の 3 つの列を追加できます。

したがって、プールされたデータセットの分散は、最後の列の合計を観測データの総数で割ったものになります。

$Var(X)=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{X}\right)^2\cdot f_i }{n}=\cfrac{4200}{30}=140$

分散と標準偏差

分散と標準偏差 (または標準偏差) は分散の 2 つの尺度であり、どちらもデータセットの分散の度合いを示します。ただし、分散と標準偏差の違いは、一般に分散の方が標準偏差の 2 乗であるため、値が大きくなるということです。

標準偏差は一般にギリシャ文字のシグマ (σ) で表され、分散はこれら 2 つの分散メトリックの間に存在する数学的関係であるため、分散は文字シグマの二乗 (σ ² ) で表されます。

$Var(X)=\sigma^2$

したがって、データセットの分散値を計算したら、分散の平方根を求めるだけで、同じセットの標準偏差値を簡単に見つけることができます。

$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$

母集団分散と標本分散

論理的には、母集団の分散は統計的な母集団の分散の計算を指しますが、代わりに標本の分散が標本の分散の計算に適用されます。ただし、母集団分散の式は標本分散の式とは異なるため、これらは 2 つの異なる概念です。

通常、分散の演習では、特に指示がない限り、提供されたデータセットの分散を求めるには、母分散の式を使用する必要があります。これは、記事の冒頭で説明したものです。

$\sigma^2=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{X}\right)^2}{n}$

しかし、おそらく一部の問題では、統計データを標本として扱うように求められます。その場合、標本分散の式を使用する必要があります。

$s^2=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{X}\right)^2}{n-1}$

母集団分散が計算されていることを示すにはギリシャ文字 σ で示されますが、標本分散が計算される場合には文字 s が使用されることに注意してください。

ご覧のとおり、2 つの式の唯一の違いは、サンプルの分散を観測値の総数から 1 を引いた値で割る必要があることです。たとえば、データ項目が合計 30 個ある場合、29 で割ります。ただし、分子の計算はまったく同じ方法で行われます。

分散特性

分散には次の特性があります。

ランダム変数の分散は常に 0 以上になります。同様に、分散がゼロの場合、すべての統計データが同じであることを意味します。

$Var(x)\ge 0$

明らかに、単一値の分散はゼロです。

$Var(a)=0\qquad a\in \mathbb{R}$

スカラーと変数の積の分散は、そのスカラーの 2 乗と変数の分散の積に相当します。

$Var(aX)=a^2\cdot Var(X)\qquad a\in \mathbb{R}$

2 つの従属変数の合計の分散は、各変数の個別の分散の合計に 2 つの変数間の共分散の 2 倍を加えたものに相当します。

$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)$

したがって、2 つの変数が独立している場合、それらの合計の分散を求めるには、それらの分散を加算するだけで十分です。

$Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$

偏差は、次の式を使用して数学的期待値で定義することもできます。

$Var(X)=E\bigl[(X-\overline{X})^2\bigr]$

著者について

ベンジャミン・アンダーソン博士

私はベンジャミンです。退職した統計教授から、専任の Statorials 教育者になりました。統計分野における豊富な経験と専門知識を活かして、私は Statorials を通じて学生に力を与えるために自分の知識を共有することに尽力しています。もっと知る