対称分布: 定義と例

統計学において、対称分布とは、左側と右側が互いに鏡像関係にある分布のことです。

最もよく知られている対称分布は正規分布であり、独特の釣鐘型をしています。

分布の中心に線を引くと、分布の左側と右側が完全に鏡映し合うことになります。

統計において、歪度は分布の対称性を説明する方法です。この値は、負、ゼロ、または正のいずれかになります。

対称分布の場合、非対称性はゼロです。

これは、負の歪度を持つ左に歪んだ分布とは対照的です。

これは、正の歪度を持つ右に歪んだ分布とも対照的です。

対称分布の性質

対称分布では、平均、中央値、最頻値はすべて等しいです。

それぞれについて次の定義を覚えておいてください。

• 平均:平均値。
• 中央値:平均値。
• モード:最も頻繁に表示される値。

対称分布では、これらの値はそれぞれ他の値と等しくなります。

これまでの各例では、例として単峰分布、つまり「ピーク」が 1 つだけある分布を使用してきました。ただし、分布は二峰性で対称的な場合もあります。

二峰性分布は、 2 つのピークを持つ分布です。

この分布の中心に線を引いた場合でも、左側と右側は互いに鏡像関係になることに注意してください。

これらの分布では、平均と中央値は等しくなります。ただし、モードは両方の頂点にあります。

対称分布のその他の例

正規分布に加えて、次の分布も対称です。

分布 t

均一分布

コーシー分布

これらの分布の 1 つの中心に線を引くと、各分布の左側と右側が完全にミラーリングされます。

対称分布と中心極限定理

すべての統計における最も重要な定理の 1 つは中心極限定理です。これは、母集団の分布が正規でなくても、標本サイズが十分に大きければ、標本平均の標本分布はほぼ正規になるというものです。

中心極限定理を適用するには、サンプル サイズが十分に大きくなければなりません。正確に「十分な人数」と言えるのは何人かは、人口分布の根本的な形状に依存することがわかりました。

特に：

• 母集団の分布が対称的である場合、サンプル サイズが 15 程度で十分な場合があります。
• 母集団の分布が偏っている場合、通常は少なくとも 30 人のサンプルが必要です。
• 人口分布が極端に偏っている場合は、40 人以上のサンプルが必要になる場合があります。

したがって、対称分布の利点は、信頼区間を計算したり仮説検定を実行したりするときに、中心極限定理を適用するために必要なサンプル サイズが小さくて済むことです。

追加リソース

中心極限定理の概要
二峰性分布とは何ですか?
左右の偏った分布に関するガイド