平均値の信頼区間

によるベンジャミン・アンダーソン博士 8月 3, 2023 統計 0コメント

この記事では、統計における平均値の信頼区間とは何か、またその用途について説明します。同様に、平均値の信頼区間を計算する方法と段階的な演習も学習します。

平均値の信頼区間は何ですか?

平均値の信頼区間は、母集団の平均値の許容値の範囲を提供する区間です。言い換えれば、平均値の信頼区間は最大値と最小値を与え、それらの間の値と母平均値を誤差の範囲で結び付けます。

たとえば、母集団平均の 95% 信頼区間が (6.10) である場合、これは母平均が 95% の確率で 6 ～ 10 の間にあることを意味します。

したがって、平均の信頼区間は、母集団平均が間にある 2 つの値を推定するために使用されます。したがって、平均値の信頼区間は、すべての値が不明な場合に母集団の平均を近似するのに非常に役立ちます。

変数を入力するプロセスが次のようになると仮定します。

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

平均値の信頼区間は、Z _α/2の値に標準偏差 (σ) を掛け、サンプルのサイズ (n) の平方根で割った値をサンプル平均に加算および減算することによって計算されます。したがって、平均の信頼区間を計算する式は次のようになります。

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

大きなサンプルサイズと 95% の信頼水準の場合、臨界値は Z _α/2 = 1.96 で、99% の信頼水準の場合、臨界値は Z _α/2 = 2.576 です。

上記の式は、母集団の分散がわかっている場合に使用されます。ただし、母集団の分散が不明な場合は (ほとんどの場合がこれに該当します)、平均の信頼区間は次の式を使用して計算されます。

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

金：

母集団の平均の信頼区間がどのように計算されるかを理解できるように、ステップごとに解決した例を以下に示します。

206 203 201 212
194 176 208 201

前のセクションで見たように、母集団の標準偏差がわからない場合に母集団平均の信頼区間を求める式は次のとおりです。

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

したがって、平均値の信頼区間を決定するには、まず標本の平均値と標準偏差を計算する必要があります。

$\begin{array}{c}\mu =200,13 \\[4ex]s=11,13\end{array}$

信頼水準 1-α=95% で信頼区間を見つけたいので、サンプルサイズは 8 であるため、スチューデントの t 分布表にアクセスして、どの値が t _0.025|7に対応するかを確認する必要があります。

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 7}=2,365\end{array}$

そこで、平均値に信頼区間の式を適用し、区間の限界を求める計算を実行します。

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

$\displaystyle \left(200,13-2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \ , \ 200,13+2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \right)$

$\displaystyle \left(190,82 \ , \ 209,43 \right)$

結論として、計算された信頼区間により、信頼水準が 95% の場合、母集団の平均は 190.82 ～ 209.43 になることがわかります。

私はベンジャミンです。退職した統計教授から、専任の Statorials 教育者になりました。統計分野における豊富な経験と専門知識を活かして、私は Statorials を通じて学生に力を与えるために自分の知識を共有することに尽力しています。もっと知る