幾何学的分布

によるベンジャミン・アンダーソン博士 8月 3, 2023 確率 0コメント

この記事では、統計学における幾何分布とは何かについて説明します。したがって、幾何分布の定義、幾何分布の例、およびこのタイプの確率分布の特性がわかります。さらに、オンライン計算機を使用して幾何分布の確率を計算できます。

幾何分布とは何ですか?

幾何分布は、最初の成功結果を得るために必要なベルヌーイ試行回数を定義する確率分布です。

つまり、幾何分布モデルでは、ベルヌーイ実験のいずれかが肯定的な結果が得られるまで反復されるプロセスをモデル化します。

ベルヌーイテストは、「成功」と「失敗」という 2 つの結果が考えられる実験であることに注意してください。したがって、「成功」の確率がpの場合、「失敗」の確率はq=1-pです。

したがって、幾何学的分布は、実行されたすべての実験の成功確率であるパラメーターpに依存します。さらに、確率p はすべての実験で同じです。

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

同様に、幾何分布は、最初の成功までの失敗の数として定義することもできます。この場合、分布は値x=0を取ることができ、その式はわずかに異なります。しかし、最も一般的なのは、このセクションの冒頭で説明した幾何分布の定義に戻ることです。

幾何学的分布の例

幾何分布の定義を理解したら、このセクションでは、このタイプの分布に従う確率変数の例をいくつか示します。

幾何分布の例:

表が出るまでのコイン投げの回数。
赤い車が見えるまでに道路を通過する車の数。
合格するまでに運転免許試験を受けなければならない回数。
6 の目が出るまでにサイコロを振る回数。
ゴールが決まるまでに行わなければならないフリースローの数。

幾何分布式

幾何分布では、肯定的な結果を得るためにx回の試行を行う必要がある確率は、パラメーターpと (1-p)のx-1乗の積です。

したがって、幾何分布の確率を計算する式は次のようになります。

👉以下の計算機を使用して、幾何分布に従う変数の確率を計算できます。

一方、幾何分布の累積確率を計算できる分布関数の公式は次のとおりです。

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

幾何学的分布の演習が解決されました

サイコロの 3 回目に 5 の目が出る確率はどれくらいですか?

この問題の確率分布は、成功した結果 (数字 5) を得るために必要な投げの数 (3 回) を定義しているため、幾何分布になります。

したがって、最初に各打ち上げの成功確率を計算する必要があります。この場合、6 つの可能な結果のうち肯定的な結果は 1 つだけであるため、確率pは次のようになります。

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

次に、幾何分布公式を適用して、演習で求められる確率を決定します。

$\begin{aligned}\displaystyle P[X=x]&=(1-p)^{x-1}\cdot p\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=\left(1-\frac{1}{6}\right)^{3-1}\cdot \frac{1}{6}\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=0,1157\end{aligned}$

幾何学的分布特性

幾何学的分布は次の特性を満たします。

幾何学的分布には、実行された各実験の成功確率である特性パラメータpがあります。

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{c} of each experiment carried out.</li></ul>[latex]E[X]=\cfrac{1}{p}

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \begin{array}{c}
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leading text: ...0 <ul><li> The mean of the general distribution
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leading text: ...><li> The mean of the geometric distribution
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leading text: ...ne of the geometric distribution is
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leading text: ...the geometric distribution is equal to
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leading text: ...geometric tion is equal to one divided
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leading text: ...st equals one divided by probability
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