指数分布の概要

指数分布は、特定のイベントが発生するまで待機する時間をモデル化するために使用される確率分布です。

この分布は、次のような質問に答えるために使用できます。

• 小売業者は顧客が店舗に入るまでどれくらい待つ必要がありますか?
• ラップトップは壊れるまでどれくらい動作し続けますか?
• 車のバッテリーはどのくらいの期間使い続ければ切れますか?
• ある地域で次の火山噴火が起こるまでどれくらい待てばよいのでしょうか?

各シナリオで、特定のイベントが発生するまで待機する必要がある時間を計算したいと考えています。したがって、各シナリオは指数分布を使用してモデル化できます。

指数分布: PDF および CDF

確率変数X が指数分布に従う場合、 Xの確率密度関数は次のように書くことができます。

f (x; λ) = λe ^-λx

金：

• λ:速度パラメータ (λ = 1/μ として計算)
• e: 2.718 にほぼ等しい定数

の累積分布関数

F (x; λ) = 1 – e ^-λx

実際には、CDF は指数分布に関連する確率を計算するために最もよく使用されます。

たとえば、特定の間欠泉の噴火間の平均分数が 40 分であるとします。噴火までに 50 分未満で待機する必要がある可能性はどのくらいですか?

この問題を解決するには、まずレート パラメーターを計算する必要があります。

• λ = 1/μ
• λ = 1/40
• λ = 0.025

λ = 0.025 と x = 50 を CDF 式に代入できます。

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 50) = 1 – e ^-0.025(50)
• P(X ≤ 50) = 0.7135

次の噴火までに 50 分未満待たなければならない確率は0.7135です。

指数分布を視覚化する

次のグラフは、確率変数の確率密度関数を示しています。

次のグラフは、さまざまなレート パラメーターを使用した指数分布に従う確率変数Xの累積分布関数を示しています。

注: R で指数分布をプロットする方法については、 このチュートリアルを参照してください。

指数分布の性質

指数分布には次の特性があります。

• 平均: 1 / λ
• 差: 1 / λ ²

たとえば、特定の間欠泉の噴火間の平均分数が 40 分であるとします。レートは λ = 1/μ = 1/40 = 0.025 として計算されます。

次に、この分布の次のプロパティを計算できます。

• 次の噴火までの平均待ち時間: 1/λ = 1 /.025 = 40
• 次の噴火までの待ち時間の変化: 1/λ ² = 1 /.025 ² = 1600

注:指数分布には記憶を持たない特性もあります。これは、将来のイベントが発生する確率が過去のイベントの発生によって影響されないことを意味します。

指数分布の練習問題

次の練習問題を使用して、指数分布の知識をテストしてください。

質問 1:新規顧客は平均 2 分ごとに店舗に入ります。顧客が到着した後、1 分以内に新しい顧客が到着する確率を決定します。

解決策 1:クライアント間の平均時間は 2 分です。したがって、レートは次のように計算できます。

• λ = 1/μ
• λ = 1/2
• λ = 0.5

λ = 0.5 と x = 1 を CDF 式に代入できます。

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0.5(1)
• P(X ≤ 1) = 0.3935

次の顧客が到着するまでに 1 分未満待たなければならない確率は0.3935です。

質問 2:ある地域では平均 400 日ごとに地震が発生します。地震の後、次の地震が発生するまでに 500 日以上かかる確率を求めます。

解決策 2:地震の平均間隔は 400 日です。したがって、レートは次のように計算できます。

• λ = 1/μ
• λ = 1/400
• λ = 0.0025

λ = 0.0025 と x = 500 を CDF 式に代入できます。

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0.0025(500)
• P(X ≤ 1) = 0.7135

次の地震まで 500 日未満待たなければならない確率は 0.7135 です。したがって、次の地震まで 500 日以上待たなければならない確率は 1 – 0.7135 = 0.2865となります。

質問 3:コールセンターには、平均して 10 分ごとに新しい電話がかかってきます。顧客からの電話後、10 ～ 15 分以内に新しい顧客から電話がかかる可能性を判断します。

解決策 3:通話間の平均時間は 10 分です。したがって、レートは次のように計算できます。

• λ = 1/μ
• λ = 1/10
• λ = 0.1

次の式を使用して、新規顧客が 10 ～ 15 分以内に電話をかける確率を計算できます。

• P(10 < X ≤ 15) = (1 – e ^-0.1(15) ) – (1 – e ^-0.1(10) )
• P(10 < X ≤ 15) = 0.7769 – 0.6321
• P(10 < X ≤ 15) = 0.1448

新規顧客から 10 ～ 15 分以内に電話がかかる可能性。は0.1448です。

追加リソース

次のチュートリアルでは、他の一般的な確率分布について紹介します。

正規分布の概要
二項分布の概要
ポアソン分布の概要
一様分布の概要