指数分布の 4 つの実際の例

指数分布は、特定のイベントが発生するまで待機する時間をモデル化するために使用される確率分布です。

確率変数X が指数分布に従う場合、 Xの累積密度関数は次のように書くことができます。

F (x; λ) = 1 – e ^-λx

金：

• λ:速度パラメータ (λ = 1/μ として計算)
• e: 2.718 にほぼ等しい定数

この記事では、現実の指数分布の 5 つの例を紹介します。

例 1: 間欠泉の噴火間の時間

特定の間欠泉の噴火間の分数は、指数分布によってモデル化できます。

たとえば、特定の間欠泉の噴火間の平均分数が 40 分であるとします。間欠泉が噴火した場合、次の噴火まで 50 分以内に待たなければならない確率はどれくらいですか?

この問題を解決するには、まずレート パラメーターを計算する必要があります。

• λ = 1/μ
• λ = 1/40
• λ = 0.025

λ = 0.025 と x = 50 を CDF 式に代入できます。

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 50) = 1 – e ^-0.025(50)
• P(X ≤ 50) = 0.7135

次の噴火までに 50 分未満待たなければならない確率は0.7135です。

例 2: 顧客間の時間

顧客が特定の店舗に入るまでの時間 (分) は、指数分布によってモデル化できます。

たとえば、平均して 2 分ごとに新しい顧客が店舗に入店するとします。顧客が到着した後、1 分以内に新しい顧客が到着する確率を決定します。

これを解決するには、クライアント間の平均時間が 2 分であることを知ることから始めます。したがって、レートは次のように計算できます。

• λ = 1/μ
• λ = 1/2
• λ = 0.5

λ = 0.5 と x = 1 を CDF 式に代入できます。

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0.5(1)
• P(X ≤ 1) = 0.3935

次の顧客が到着するまでに 1 分未満待たなければならない確率は0.3935です。

例 3: 地震間の時間 

地震発生間の時間は、指数分布を使用してモデル化できます。

たとえば、ある地域で平均 400 日ごとに地震が発生するとします。地震の後、次の地震が発生するまでに 500 日以上かかる確率を求めます。

この問題を解決するには、地震の平均間隔が 400 日であることを知ることから始めます。したがって、レートは次のように計算できます。

• λ = 1/μ
• λ = 1/400
• λ = 0.0025

λ = 0.0025 と x = 500 を CDF 式に代入できます。

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0.0025(500)
• P(X ≤ 1) = 0.7135

次の地震まで 500 日未満待たなければならない確率は 0.7135 です。

したがって、次の地震まで 500 日以上待たなければならない確率は 1 – 0.7135 = 0.2865となります。

例 4: 通話間の時間

さまざまな企業での顧客からの電話間の時間は、指数分布を使用してモデル化できます。

たとえば、銀行が平均 10 分ごとに新しい電話を受けるとします。顧客からの電話後、10 ～ 15 分以内に新しい顧客から電話がかかる可能性を判断します。

これを解決するには、まず通話間の平均時間が 10 分であることを知ることから始めます。したがって、レートは次のように計算できます。

• λ = 1/μ
• λ = 1/10
• λ = 0.1

次の式を使用して、新規顧客が 10 ～ 15 分以内に電話をかける確率を計算できます。

• P(10 < X ≤ 15) = (1 – e ^-0.1(15) ) – (1 – e ^-0.1(10) )
• P(10 < X ≤ 15) = 0.7769 – 0.6321
• P(10 < X ≤ 15) = 0.1448

新規顧客から 10 ～ 15 分以内に電話がかかる可能性。は0.1448です。

追加リソース

次の記事では、他の確率分布が現実世界でどのように使用されるかの例を示します。

正規分布の6つの具体例
二項分布の 5 つの具体例
ポアソン分布の 5 つの具体例
幾何学的分布の 5 つの具体例
一様分布の5つの具体例