掛け算の大原則（解説と例）

乗算の一般規則では、任意の 2 つのイベント A と B が両方とも発生する確率は次のように計算できると述べています。

P(A および B) = P(A) * P(B|A)

縦棒 | 「与えられた」という意味です。したがって、P(B|A) は、「A が発生したと仮定して、B が発生する確率」と読み取ることができます。

イベント A と B が独立している場合、P(B|A) は単純に P(B) に等しく、ルールは次のように単純化できます。

P(A および B) = P(A) * P(B)

独立イベントと依存イベントの例をいくつか見て、この一般的な乗算規則を実際にどのように適用できるかを見てみましょう。

依存イベントの一般的な乗算規則

次の例は、一般的な乗算ルールを使用して 2 つの依存イベントに関連する確率を見つける方法を示しています。各例では、2 番目のイベントが発生する確率は、最初のイベントの結果の影響を受けます。

例 1: 壺の中のボール

壺には赤いボールが 4 つ、緑色のボールが 3 つ入っています。ボブは、交換せずに、壺からランダムに 2 つのボールを選択します。彼が 2 つの赤いボールを選ぶ確率はどれくらいですか?

解決策:最初の試行で彼が赤いボールを選択する確率は 4/7 です。このボールが取り除かれると、2 回目の試行で赤いボールを選択する確率は 3/6 です。したがって、彼が 2 つの赤いボールを選択する確率は次のように計算できます。

P (両方赤) = 4/7 * 3/7 ≈ 0.2249

例 2: デッキ内のカード

トランプには 26 枚の黒いカードと 26 枚の赤いカードが含まれています。デビーはデッキからカードを交換せずにランダムに 2 枚選びます。彼女がレッドカードを 2 枚選ぶ確率はどれくらいですか?

解決策:最初の試行で彼女がレッドカードを選択する確率は 26/52 です。このカードが取り除かれると、彼女が 2 回目の試行でレッド カードを選択する確率は 25/51 です。したがって、彼女が 2 枚のレッドカードを選択する確率は次のように計算できます。

P (両方赤) = 26/52 * 25/51 ≈ 0.2451

独立したイベントの一般的な乗算規則

次の例は、一般的な乗算規則を使用して 2 つの独立したイベントに関連する確率を見つける方法を示しています。各例では、2 番目のイベントが発生する確率は、最初のイベントの結果の影響を受けません。

例 1: 2 枚のコインを投げる

2枚のコインを引いたとします。 2 枚のコインが表になる確率はどれくらいですか?

解決策:最初のコインが表になる確率は 1/2 です。最初のコインがどちら側に着いたとしても、2 番目のコインが表になる確率も 1/2 です。したがって、2 つのコインが表になる確率は次のように計算できます。

P (両方とも頭から着地) = 1/2 * 1/2 = 0.25

例 2: 2 つのサイコロを振る

一度に 2 つのサイコロを振ったとします。両方のサイコロが 1 の目に出る確率はどれくらいですか?

解決策:最初のサイコロが「1」になる確率は 1/6 です。最初のサイコロがどちらに出たとしても、2番目のサイコロが「1」になる確率も1/6です。したがって、両方のサイコロが「1」になる確率は次のように計算できます。

P(両方とも「1」に着地) = 1/6 * 1/6 = 1/36 ≈ 0.0278