推定者

この記事では、統計における推定量とは何か、また、優れた推定量の特性について説明します。さらに、推定量の例と、統計に存在するさまざまな種類の推定値を確認できます。

推定器とは何ですか?

統計学における推定量は、母集団パラメータの値を推定するために使用される統計です。言い換えれば、推定器は母集団の未知のパラメータを推定するために使用されます。

たとえば、標本平均は母集団平均の推定値です。したがって、サンプルの算術平均を計算し、この値を母集団平均の近似値として使用できます。

標本推定量は統計において非常に一般的です。これは、通常、母集団のすべての要素がわかっているわけではなく、したがって母集団の統計パラメータを計算することができないためです。次に、ランダムなサンプルが選択され、サンプルの統計的尺度が決定され、実行された計算に基づいて母集団パラメーターを近似できます。

優れた推定者の特徴

推定器の定義を理解したら、概念をより深く理解するために、優れた推定器がどのような特性を備えていなければならないかを見てみましょう。

1. 不偏: 不偏推定量とは、サンプル値が母集団の値と等しい推定量です。したがって、推定量のバイアスが大きくなるほど、精度は低くなります。このため、点推定値と真の値の差ができるだけゼロに近づくように、点推定値のバイアスを小さくする必要があります。
2. 一貫性: 一貫した推定量とは、サンプル サイズが増加するにつれて、その値がパラメーターの真の値に近づく推定量です。したがって、サンプルサイズが大きいほど、より正確な推定値が生成されます。
3. 効率: 点推定器のサンプリング分布の分散が小さいほど、点推定器の効率は高くなります。したがって、分散が小さくなるように点推定器を効率的にする必要があります。したがって、この特性のみに依存する場合、2 つの点推定量の間で、常に最大の効率 (または最小の分散) を持つ推定量を選択することになります。
4. ロバストネス: ロバスト推定量とは、初期仮説の一部が変更された場合でも、推定結果が大幅に変更されない推定量です。
5. 十分性: 推定値内のサンプルに関するすべての関連情報が要約されていれば、他の推定値が推定母集団パラメータに関する追加情報を提供できない推定値で十分です。したがって、母集団パラメータを近似するために選択できる最良の統計量である場合には、1 つの推定量で十分です。

推定量の例

多くの場合、次の標本推定量が母集団パラメータの推定値として使用されます。

• 母集団平均の点推定値は、サンプルの算術平均の値です。一般的に使われる記号は、

  

  は標本平均の値を表し、母集団平均の記号はギリシャ文字の µ です。

• 母集団の標準偏差 (または標準偏差) は、標本の標準偏差値によって正確に推定できます。母集団の標準偏差はギリシャ文字の σ で表され、標本標準偏差の値は文字 s で示されます。

• 母集団の割合は、サンプル割合の値を使用して特定の方法で推定できます。母集団比率を表す記号は文字 py であり、サンプル比率を表す記号は です。

  

見積もりと見積もり

記事全体で説明したように、推定器は母集団パラメータを推定するために使用されます。ただし、見積もりには 2 種類あることに留意してください。

• 点推定: パラメータのサンプル値を母集団値の近似値として取得することで構成されます。
• 区間推定: 特定の値ではなく、ある区間での母集団パラメータの値を近似します。したがって、このタイプの推定では、パラメーターの真の値がその区間内に存在する確率が非常に高い区間が計算されます。

各タイプの推定には長所と短所があり、場合によっては点推定または区間推定を使用する方が実用的です。詳細については、このサイトの検索エンジンで対応する記事を検索してください。

推定器の誤り

実際には、パラメータの真の値を正確に推定することは非常に困難であり、推定値に誤差が生じることがよくあるのはこのためです。論理的には、推定誤差を最小限に抑えるように努めなければなりません。

したがって、推定値の誤差をパラメータの推定値と真の値の差として定義します。

金

は推定値であり、

パラメータの実際の値です。

二乗誤差の平均である平均二乗誤差 (MSE) を計算することもできます。平均二乗誤差は推定量の分散を表すことに注意してください。