数学的期待値 (または期待値)

によるベンジャミン・アンダーソン博士 8月 5, 2023 確率 0コメント

この記事では、確率変数の数学的期待値 (または期待値) とは何か、およびその計算方法について説明します。数学的希望の解決された演習が見つかるでしょう。さらに、オンライン計算機を使用して、任意のデータセットの期待値を見つけることができます。

数学的期待値 (または期待値) とは何ですか?

統計学では、期待値 (期待値とも呼ばれます) は、確率変数の平均値を表す数値です。数学的な期待値は、ランダムなイベントの値とそれぞれの発生確率によって形成されるすべての積の合計に等しくなります。

期待値の記号は大文字の E です。たとえば、統計変数 X の期待値は E(X) で表されます。

同様に、データセットの数学的期待値はその平均値 (母集団平均) と一致します。

数学的期待値を計算する方法

離散変数の数学的期待値を計算するには、次の手順に従う必要があります。

考えられる各イベントにその発生確率を掛けます。
前のステップで得られたすべての結果を合計します。
取得された値は、変数の数学的期待値 (または期待値) です。

したがって、離散変数の数学的期待値 (または期待値) を計算する式は次のとおりです。

👉以下の計算機を使用して、任意のデータセットの期待値を計算できます。

上記の式は、確率変数が離散的である場合にのみ使用できることに注意してください (ほとんどの場合)。ただし、変数が連続値の場合、数学的期待値を取得するには次の公式を使用する必要があります。

$\displaystyle E(X)=\int_\mathbb{R} x\cdot f_x(x) dx$

金

$f_x$

は連続変数の密度関数です

数学的期待の例

期待値 (または期待値) の定義を考慮して、計算がどのように行われるかを理解するために、以下に具体的な例を示します。

人は、サイコロを振って出た数字に基づいてお金の勝ち負けが決まるゲームに参加します。 1 が出た場合は $800 を獲得し、2 または 3 が出た場合は $500 を失い、4、5、または 6 が出た場合は $100 を獲得します。参加費は50ドルです。この確率ゲームに参加することをお勧めしますか?

最初に行うことは、各イベントの確率を決定することです。サイコロには 6 つの面があるため、任意の数字が出る確率は次のようになります。

$p(\text{obtener un n\'umero})=\cfrac{1}{6}$

したがって、各イベントの発生確率は次のようになります。

$p(\text{ganar }\$800)=\cfrac{1}{6}$

$p(\text{perder }\$500)=2\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{2}{6}$

$p(\text{ganar }\$100)=3\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{3}{6}$

各イベントの発生確率がわかったので、期待値の数式を適用します。

$\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot p_i$

そして、数学的な期待値 (または期待値) を計算します。

$E(X)=800\cdot\cfrac{1}{6}-500\cdot \cfrac{2}{6}+100\cdot\cfrac{3}{6}=\$16,67$

期待値はこのゲームに参加する価格よりも低いため、長期的にはお金を失うことになるため、プレイしない方が良いでしょう。 1になったときだけ参加すれば大きな利益が得られるかもしれませんが、長期的には損失を被る可能性が高いです。

数学的期待値の結果は、不可能な値になる場合があることに注意してください。たとえば、この場合は 16.67 ドルが得られません。

期待値計算機

一連の統計データを次の計算機に入力して、期待値を計算します。最初のボックスに各イベントの値を入力し、2 番目のボックスにその発生確率を同じ順序で入力する必要があります。

データはスペースで区切られ、小数点としてピリオドを使用して入力する必要があります。

数学的期待値の性質

数学的期待値の特性は次のとおりです。

定数の数学的期待値はそれ自体です。

$E(k)=k$

確率変数にスカラーを乗算した期待値は、この変数にこのスカラーを乗算した期待値と等しくなります。

$E(k\cdot X)=k\cdot E(X)$

2 つの変数の合計の数学的期待値は、各変数の数学的期待値の合計と等価です。

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

一般に、2 つの変数を乗算すると、異なる数学的期待値が生成されます。結果が同じになるのは、変数が独立している場合のみです。

$E(X\cdot Y)\neq E(X)\cdot E(Y)$

変数のすべての値がゼロ以上の場合、その変数の数学的期待値も正またはゼロになります。

$X\geq 0 \ \longrightarrow \ E(X)\geq 0$

1 つの変数のすべての値が別の変数のすべての値よりも小さい場合、2 つの変数の期待値は同じ関係になります。

$X\leq Y \ \longrightarrow \ E(X)\leq E(Y)$

変数が 2 つの値によって制限されることがわかっている場合、その数学的期待も論理的に制限されます。

$a <ul> <li> Si une variable est la combinaison linéaire d’une autre variable, ses attentes mathématiques satisfont à la même relation algébrique : </li> </ul> <p>[latex]Y=a+bX \ \longrightarrow \ E(Y)=a+b\cdot E(X)” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”41″ width=”1116″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <h2 class=$ 数学的期待値は何に使用されますか?

この最後のセクションでは、数学的希望の意味をさらに深く掘り下げていきます。具体的に、この統計的尺度が何に使用されるかを見て、概念をよりよく理解します。

数学的期待値 (または期待値) は、確率空間で長期的に得られる、または失われると予想される量の値を持つために使用されます。言い換えれば、数学的期待値は長期的に得られるリターンを示します。

企業の株式を購入するなど、投資を検討する場合、考慮すべきパラメーターの 1 つは数学的期待値です。なぜなら、この投資を数回行った場合に得られる経済的利益は、数学的期待値になるからです。これは得られる利益の平均と考えることができます。

同様に、数学的期待は計量経済学、量子物理学、貿易、さらには生物学などの他の分野でも使用されます。

著者について

ベンジャミン・アンダーソン博士

私はベンジャミンです。退職した統計教授から、専任の Statorials 教育者になりました。統計分野における豊富な経験と専門知識を活かして、私は Statorials を通じて学生に力を与えるために自分の知識を共有することに尽力しています。もっと知る