相互排他的なイベント

ここでは、相互排他的なイベントとは何かについて説明します。また、相互に排他的なイベントの例と、その発生確率の計算方法についても説明します。最後に、相互に排他的なイベントと他のイベント タイプの違いを学びます。

相互排他的なイベントとは何ですか?

相互に排他的なイベントは、同時に発生することができないランダムな実験の結果です。言い換えれば、2 つのイベントは、共通のイベントが 1 つも存在しない場合、相互排他的になります。

相互に排他的なイベントは、相互排他的なオカレンスとも呼ばれます。

2 つのイベントが相互に排他的であるためには、同時に発生しないだけでは十分ではないことに注意してください。そのようなイベントが同時に発生する可能性がある場合、それらはもはやそのタイプのイベントではありません。 2 つのイベントが相互に排他的であるためには、それらの同時発生確率がゼロでなければなりません。

相互に排他的なイベントの例

相互に排他的なイベントの定義を理解したら、その意味を完全に理解するために、以下にこのタイプのイベントの例をいくつか示します。

たとえば、コイントスのイベント「表」と「裏」は同時に発生することがないため、相互に排他的です。

サイコロの目で相互に排他的なイベントの他の例も見つけることができます。サイコロを振ると、6 つの出目 (1、2、3、4、5、6) が考えられますが、ロールできる数字は 1 つだけであるため、6 つの出目は相互に排他的です。

相互に排他的なイベントの確率

定義上、 2 つのイベントは共存できないため、相互に排他的な 2 つのイベントが同時に発生する確率はゼロです。したがって、2 つの相互に排他的なイベントの共通部分は空集合になります。

一方、相互に排他的なイベントのペアからイベントが発生する確率は、各イベントの発生確率の合計です。

2 つの相互に排他的なイベントの発生確率がどのように計算されるかを理解できるように、以下に解決済みの演習を残しておきます。

• 箱の中に緑のボール5個、黄色のボール4個、青のボール2個を入れます。箱からオレンジ色のボールまたは青いボールが取り出される確率はどれくらいですか?

明らかに、 「緑のボールを描く」 、 「黄色のボールを描く」 、 「青のボールを描く」という 3 つのイベントは同時に発生できないため、相互に排他的です。したがって、 「緑のボールまたは青のボールを引く」確率を求めるには、まず 2 つのイベントの確率を別々に計算し、次にそれらを合計する必要があります。

したがって、ラプラスの法則を適用して、ボックスから緑色のボールを引き出す確率を計算します。

次に、青いボールを取得する確率を求めます。

したがって、緑のボールまたは青のボールをキャッチする確率の合計は、計算された 2 つの確率の合計になります。

相互に排他的なイベントと相互に排他的でないイベント

論理的には、相互に排他的なイベントと相互に排他的でないイベントの違いは、排他性です。 2 つの相互に排他的なイベントは同時に発生することはできませんが、2 つの相互に排他的でないイベントは同時に発生する可能性があります。

たとえば、ゲームでランダムなカードを引く場合、ダイヤモンド カードとハート カードの両方になるカードはないため、「ダイヤモンド カードを引く」イベントと「ハート カードを引く」イベントは相互に排他的です。

逆に、同じ例に従うと、 「ダイヤモンドのカードを引く」イベントと「7 未満の数字のカードを引く」イベントは、これら 2 つの条件を満たすカードが多数あるため、相互に排他的ではありません。

相互に排他的かつ補完的なイベント

2 つの相互に排他的なイベントと 2 つの補完的なイベントの違いは、それらが集合的に排他的なイベントであるかどうかです。相互に排他的なイベントは必ずしも全体的に排他的である必要はありませんが、相補的なイベントは常に排他的です。

つまり、相互に排他的な 2 つのイベントは、同時に発生することはできませんが、別のイベントが発生する可能性がある、経験の 2 つの異なる結果です。逆に、ランダムな実験で起こり得る結果が 2 つだけであり、同時に発生することができない場合、2 つのイベントは相補的です。

たとえば、サイコロを振ることに対する 2 つの補足的なイベントは、「3 以下の数字を振る」と「3 より大きい数字を振る」です。ただし、2 つの相互に排他的なイベントは、「番号 1 を取得する」と「番号 2 を取得する」になります。これは、一方の発生は他方が発生しないことを意味するためです。ただし、同じスローから他の番号を取得することはできます。

最終的に、すべての相補的なイベントは相互に排他的ですが、2 つの相互排他的なイベントは必ずしも相補的であるとは限りません。

相互に排他的なイベントと独立したイベント

このセクションでは、相互排他的なイベントと独立したイベントの違いについて説明したいと思います。これらは、確率と統計を研究する際に明確にする必要がある 2 つの概念です。

相互排他的なイベントと独立したイベントの違いは、相互排他的なイベントは同時に発生できないことです。代わりに、独立したイベントが同時に発生する可能性がありますが、一方のイベントの確率は他方のイベントには影響しません。

たとえば、コインを 2 回続けて投げる場合、あるイベントが発生するという事実は、他のイベントの発生確率に影響を与えないため、「1 回目のトスで表」と「2 回目のトスで表」というイベントは独立しています。ただし、これら 2 つのイベントは両方とも発生する可能性があるため、相互に排他的ではありません。

一方、コインを 1 回だけ投げた場合、 「表」イベントと「裏」イベントは同時に発生することがないため、相互に排他的になります。