確率の公式

によるベンジャミン・アンダーソン博士 8月 1, 2023 確率 0コメント

この記事では、確率公式とは何かを説明します。したがって、確率論のすべての公式と、その応用例がわかります。

ラプラスの法則の公式

ラプラスの法則とも呼ばれるラプラスの法則は、事象が発生する確率を計算するために使用される法則です。

ラプラスの法則によれば、イベントが発生する確率は、有利なケースの数を可能なケースの総数で割ったものに等しいとされています。したがって、イベントが発生する確率を計算するには、そのイベントを満たすケースを可能な結果の数で割る必要があります。

したがって、ラプラスの法則の式は次のようになります。

$P(A)=\cfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

➤参照:ラプラス則の例

逆イベントの公式

ある事象の確率は、1 からその反対の事象の確率を引いたものに等しくなります。つまり、ある事象の確率とその反対の事象の確率の合計は 1 になります。

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

たとえば、次の確率特性を使用して他の数字が出る確率を決定できるため、数字 5 が出る確率は 0.167 です。

$P(5)=0,167$

$P(1, 2, 3, 4, 6)=1-P(5)=1-0,167=0,833$

条件付き確率の式

条件付き確率は、条件付き確率とも呼ばれ、別のイベント B が発生した場合にイベント A が発生する確率を示す統計的尺度です。つまり、条件付き確率 P(A|B) は、イベント B がすでに発生した後にイベント A が発生する確率を指します。

イベント B が与えられた場合のイベント A の条件付き確率は、イベント A とイベント B の交差の確率をイベント B の確率で割ったものに等しくなります。したがって、条件付き確率の式は次のとおりです。

$P(A|B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

➤参照:条件付き確率の例

イベントの和集合の公式

2 つのイベント A と B の和集合は、A、B、または両方に存在するイベントのセットです。 2 つのイベントの結合は記号 ⋃ で表現されるため、イベント A と B の結合は A⋃B と書かれます。

2 つのイベントが結合する確率は、最初のイベントの確率に 2 番目のイベントの確率を加え、イベントの交差の確率を引いたものに等しくなります。

つまり、 2 つのイベントが結合する確率の公式は、 P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B) となります。

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

ただし、2 つのイベントに互換性がない場合、2 つのイベント間の交差はゼロになります。したがって、2 つの互換性のないイベントが結合する確率は、各イベントの発生確率を加算することによって計算されます。

$\text{A y B son incompatibles} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P(A\cap B)=0$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

➤参照：イベントへの参加例

イベントの交差の公式

イベント A と B の共通部分は、同時に A と B に属するすべてのイベントによって形成され、記号 ⋂ で表されます。したがって、イベント A と B の交差部分は A⋂B と書かれます。

2 つのイベントが交差する確率は、1 つのイベントが発生する確率に、最初のイベントが与えられた場合にもう 1 つのイベントが発生する条件付き確率を掛けたものに等しくなります。

したがって、 2 つのイベントの交差確率の公式は、P(A⋂B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B) となります。

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$

ただし、2 つのイベントが独立している場合、これは、一方のイベントが発生する確率は、もう一方のイベントが発生するかどうかに依存しないことを意味します。したがって、2 つの独立したイベントの交差確率の式は次のとおりです。

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

➤参照:イベントの交差の例

イベントの差分の公式

2 つのイベント間の差異確率とは、一方のイベントが同時に発生せずに他方のイベントが発生する確率を指します。

したがって、AB の成功の差の確率は、成功 A の確率から、成功 A と成功 B の交差の確率を引いたものに等しくなります。したがって、成功の差の確率の公式は次のとおりです。

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

全確率定理の公式

全確率定理は、サンプル空間の一部ではないイベントの確率を、サンプル空間内のすべてのイベントの条件付き確率から計算することを可能にする法則です。

全確率定理は、サンプル空間上でパーティションを形成する一連のイベント {A ₁ 、A ₂ 、…、A _n } が与えられた場合、イベント B の確率はそれぞれの確率の積の合計に等しい、というものです。イベント P(A _i ) を条件付き確率 P(B|A _i ) で計算します。

したがって、合計確率定理の公式は次のようになります。

$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\cdot P(A_i)$

➤参照:全確率定理の例

ベイズの定理の公式

確率論では、ベイズの定理は、イベントに関する先験的な情報がわかっている場合に、そのイベントの確率を計算するために使用される法則です。

ベイズの定理によれば、確率がゼロではない相互に排他的な一連のイベント {A ₁ , A ₂ ,…, A _i ,…, A _n } と別のイベント B によって形成されるサンプル空間が与えられると、条件式を数学的に関連付けることができます。イベント B が与えられた場合の A _iの確率と、A _iが与えられた場合の B の条件付き確率。

したがって、ベイズの定理の式は次のようになります。

$P(A_i|B)=\cfrac{P(B|A_i)\cdot P(A_i)}{\displaystyle \sum_{k=1}^n P(B|A_k)\cdot P(A_k)}$

➤参照:ベイズの定理の例

すべての確率公式のまとめ表

最後に、すべての確率公式をまとめた表を残しておきます。

➤参照:統計式

著者について

ベンジャミン・アンダーソン博士

私はベンジャミンです。退職した統計教授から、専任の Statorials 教育者になりました。統計分野における豊富な経験と専門知識を活かして、私は Statorials を通じて学生に力を与えるために自分の知識を共有することに尽力しています。もっと知る