離散確率分布

によるベンジャミン・アンダーソン博士 8月 3, 2023 確率 0コメント

この記事では、統計における離散確率分布とは何かについて説明します。したがって、離散確率分布の意味、離散確率分布の例、および離散確率分布のさまざまな種類について説明します。

離散確率分布とは何ですか?

離散確率分布は、離散確率変数の確率を定義する分布です。したがって、離散確率分布は有限数の値 (通常は整数) のみを取ることができます。

たとえば、二項分布、ポアソン分布、超幾何分布は離散確率分布です。

離散確率分布では、(x _i ) を表す離散変数の各値は、0 から 1 の範囲の確率値 (pi ₎に関連付けられます。したがって、離散分布内のすべての確率の合計の結果は 1 になります。。

$\begin{array}{c}P[X=x_i]=p_i \quad i=1,2,\ldots, n\\[2ex]0\leq p_i\leq 1\\[2ex]\displaystyle\sum_{i=0}^{n}p_i=1\end{array}$

離散確率分布の例

離散確率分布の定義を理解したので、概念をよりよく理解するためにこのタイプの分布の例をいくつか見ていきます。

離散確率分布の例:

サイコロを 30 回振ると 5 の目が得られます。
1 日に Web ページにアクセスするユーザーの数。
総生徒数 50 名のうち試験に合格した生徒の数。
100 個の製品のサンプル内の不良ユニットの数。
合格するために運転免許試験を受けなければならない回数。

離散確率分布の種類

離散確率分布の主なタイプは次のとおりです。

離散一様分布
ベルヌーイ分布
二項分布
魚の分布
多項分布
幾何学的分布
負の二項分布
超幾何分布

それぞれの種類の離散確率分布については、以下で詳しく説明します。

離散一様分布

離散一様分布は、すべての値が等確率である離散確率分布です。つまり、離散一様分布では、すべての値が同じ発生確率を持ちます。

たとえば、考えられるすべての結果 (1、2、3、4、5、または 6) の発生確率が同じであるため、サイコロの目は離散一様分布で定義できます。

一般に、離散一様分布には、分布が取り得る値の範囲を定義する 2 つの特性パラメータaとbがあります。したがって、変数が離散一様分布で定義されている場合は、 Uniform(a,b)と書かれます。

$X\sim \text{Uniforme}(a,b)$

すべての結果が同じ確率を持つ場合、実験がランダムであることを意味するため、離散一様分布を使用してランダム実験を説明できます。

➤参照:離散一様分布の公式

ベルヌーイ分布

二分分布としても知られるベルヌーイ分布は、「成功」または「失敗」という 2 つの結果のみを持つことができる離散変数を表す確率分布です。

ベルヌーイ分布では、「成功」は期待される結果であり、値は 1 ですが、「失敗」は期待以外の結果であり、値は 0 です。つまり、「」の結果の確率が「成功」がpである場合、「失敗」の結果の確率はq=1-pです。

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

ベルヌーイ分布は、スイスの統計学者ジェイコブベルヌーイにちなんで命名されました。

統計学では、ベルヌーイ分布には主に 1 つの用途があります。それは、成功と失敗の 2 つの結果しか存在しない実験の確率を定義することです。したがって、ベルヌーイ分布を使用する実験は、ベルヌーイテストまたはベルヌーイ実験と呼ばれます。

➤参照:ベルヌーイ分布式

二項分布

二項分布は、二項分布とも呼ばれ、一定の成功確率で一連の独立した二分実験を実行したときの成功数をカウントする確率分布です。言い換えれば、二項分布は、一連のベルヌーイ試行の成功した結果の数を記述する分布です。

たとえば、コインが 25 回表になる回数は二項分布になります。

一般に、実行される実験の総数はパラメーターnで定義され、 pは各実験の成功確率です。したがって、二項分布に従う確率変数は次のように記述されます。

$X\sim\text{Bin}(n,p)$

二項分布では、まったく同じ実験がn回繰り返され、実験は互いに独立しているため、各実験の成功確率は同じ(p)であることに注意してください。

➤参照:二項分布式

魚の分布

ポアソン分布は、一定期間内に特定の数のイベントが発生する確率を定義する確率分布です。言い換えれば、ポアソン分布は、時間間隔内で現象が繰り返される回数を表す確率変数をモデル化するために使用されます。

たとえば、電話交換局が 1 分間に受信する通話の数は、ポアソン分布を使用して定義できる離散確率変数です。

ポアソン分布には、ギリシャ文字 λ で表される特徴的なパラメーターがあり、特定の間隔中に調査対象のイベントが発生すると予想される回数を示します。

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

➤参照:魚の分布式

多項分布

多項分布(または多項分布) は、いくつかの相互に排他的なイベントが数回の試行後に所定の回数発生する確率を記述する確率分布です。

つまり、ランダムな実験により 3 つ以上の排他的なイベントが発生する可能性があり、各イベントが個別に発生する確率がわかっている場合、多項分布を使用して、複数の実験が実行されたときに特定の数のイベントが発生する確率を計算します。毎回の時間。

したがって、多項分布は二項分布を一般化したものです。

➤参照:多項分布式

幾何学的分布

幾何分布は、最初の成功結果を得るために必要なベルヌーイ試行回数を定義する確率分布です。つまり、幾何分布モデルでは、ベルヌーイ実験のいずれかが肯定的な結果が得られるまで反復されるプロセスをモデル化します。

たとえば、黄色い車が見えるまでに道路を通過する車の数は幾何分布になります。

ベルヌーイテストは、「成功」と「失敗」という 2 つの結果が考えられる実験であることに注意してください。したがって、「成功」の確率がpの場合、「失敗」の確率はq=1-pです。

したがって、幾何学的分布は、実行されたすべての実験の成功確率であるパラメーターpに依存します。さらに、確率p はすべての実験で同じです。

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤参照:幾何分布式

負の二項分布

負の二項分布は、指定された数の肯定的な結果を得るために必要なベルヌーイ試行回数を表す確率分布です。

したがって、負の二項分布には 2 つの特徴的なパラメーターがあります。rは望ましい成功結果の数、 pは実行された各ベルヌーイ実験の成功確率です。

$X\sim \text{BN}(r,p)$

したがって、負の二項分布は、正の結果を得るために必要な数のベルヌーイ試行が実行されるプロセスを定義します。さらに、これらのベルヌーイ試行はすべて独立しており、成功の確率は一定です。

たとえば、負の二項分布に従う確率変数は、数字の 6 が 3 回振られるまでにサイコロを振らなければならない回数です。

➤参照:負の二項分布の公式

超幾何分布

超幾何分布は、母集団からn 個の要素を置換せずにランダムに抽出した場合に成功したケースの数を表す確率分布です。

つまり、超幾何分布は、いずれも置換せずに母集団からn個の要素を抽出するときにx 個の成功が得られる確率を計算するために使用されます。

したがって、超幾何分布には 3 つのパラメーターがあります。

N : は母集団内の要素の数です (N = 0、1、2、…)。
K : 成功ケースの最大数です (K = 0、1、2、…、N)。超幾何分布では要素は「成功」または「失敗」としか考えられないため、 NKは失敗ケースの最大数です。
n : は、実行される非置換フェッチの数です。

$X \sim HG(N,K,n)$

➤参照:超幾何分布式

離散および連続確率分布

最後に、離散確率分布と連続確率分布の違いを見ていきます。これら 2 種類の分布を区別する方法を知ることが重要です。

離散分布と連続分布の違いは、取り得る値の数です。連続分布は任意の値を取ることができますが、離散分布はいかなる値も受け入れず、有限数の値のみを取ることができます。

連続分布と離散分布を区別する 1 つの方法は、連続分布にどのような種類の数値を含めることができるかを判断することです。通常、連続分布は 10 進数を含む任意の値を取ることができますが、離散分布は整数のみを取ることができます。このヒントはすべてのケースで機能するわけではありませんが、ほとんどのケースで機能することに注意してください。

➤参照:連続確率分布とは何ですか?

著者について

ベンジャミン・アンダーソン博士

私はベンジャミンです。退職した統計教授から、専任の Statorials 教育者になりました。統計分野における豊富な経験と専門知識を活かして、私は Statorials を通じて学生に力を与えるために自分の知識を共有することに尽力しています。もっと知る