非線形回帰

この記事では、非線形回帰とは何か、その特徴について説明します。さまざまなタイプの非線形回帰も表示され、さらに、非線形回帰と線形回帰の違いも確認できます。

非線形回帰とは何ですか?

統計学における非線形回帰は、回帰式のモデルとして非線形関数が使用される回帰の一種です。したがって、非線形回帰モデルの方程式は非線形関数になります。

論理的には、非線形回帰は、2 つの変数間の関係が線形ではない場合に、独立変数を従属変数に関連付けるために使用されます。したがって、サンプルデータをグラフ化するときに、それらが線形関係を持たないことが観察された場合、つまり、それらがほぼ直線を形成していない場合は、「非線形回帰モデルを使用する」方が適切です。

たとえば、方程式 y=3-5x-8x ² +x ³は、3 次関数を介して独立変数 X を従属変数 Y に数学的に関係付けるため、非線形回帰モデルです。

非線形回帰の種類

非線形回帰の種類は次のとおりです。

• 多項式回帰: 方程式が多項式である非線形回帰。
• 対数回帰: 独立変数を対数とする非線形回帰。
• 指数回帰: 独立変数が方程式の指数に含まれる非線形回帰。

非線形回帰の各タイプについては、以下で詳しく説明します。

多項式回帰

多項式回帰、または多項式回帰 は、独立変数 X と従属変数 Y の間の関係が多項式を使用してモデル化される非線形回帰モデルです。

多項式回帰は、グラフが多項式曲線であるデータ セットを近似するのに役立ちます。したがって、データ サンプルのドット プロットが放物線の形状をしている場合は、線形回帰モデルよりも二次回帰モデルを構築する方が適切です。こうすることで、回帰モデルの方程式がデータ サンプルによりよく適合します。

多項式回帰モデルの方程式は、y=β ₀ +β ₁ x+β ₂ x ² +β ₃ x ³ …+β _m x ^mです。

金：

• 

  は従属変数です。

• 

  は独立変数です。

• 

  は多項式回帰式の定数です。

• 

  変数に関連付けられた回帰係数です

  

  。

以下に、対応する多項式回帰式をグラフ化したサンプル データを示します。

対数回帰

対数回帰は、方程式に対数を含む非線形回帰モデルです。具体的には、対数回帰では、独立変数の対数が考慮されます。

対数回帰を使用すると、サンプル データが対数曲線を形成するときに回帰モデルを適合させることができます。これにより、回帰モデルがサンプル データによりよく適合します。

対数回帰の方程式の公式は、 y=a+b・ln(x) です。

金：

• 

  は従属変数です。

• 

  は独立変数です。

• 

  は回帰係数です。

次のグラフでは、一連のデータと、そのデータに適合する対数回帰モデルの方程式を確認できます。ご覧のとおり、対数方程式は直線よりもドット グラフによく適合します。

指数回帰

指数回帰は、方程式が指数関数の形式になる非線形回帰モデルです。したがって、指数回帰では、独立変数と従属変数は指数関係によって関連付けられます。

指数回帰モデルの方程式の式は y=a・e ^b・xです。したがって、指数回帰式には、数値 e を乗算する係数 (a) と、独立変数を乗算する指数関数上の別の係数があります。

したがって、指数回帰の式は次のようになります。

金：

• 

  は従属変数です。

• 

  は独立変数です。

• 

  は回帰係数です。

次の図でわかるように、データはますます速く増加しているため、ドット プロットは指数関数的な曲線の形状になっています。これが、単純な線形回帰モデルよりも指数回帰モデルの方がこのデータ サンプルによく適合する理由です。

非線形回帰と線形回帰

最後に、要約として、非線形回帰モデルと線形回帰モデルの違いを見てみましょう。

線形回帰は、1 つ以上の独立変数を従属変数に線形的に関連付ける統計モデルです。したがって、線形回帰モデルでは複数の説明変数が存在する可能性がありますが、説明変数と応答変数の間の関係は線形です。

したがって、非線形回帰と線形回帰の主な違いは、非線形回帰モデルの方程式が非線形関数 (多項式、対数、指数関数など) であるのに対し、非線形回帰モデルの方程式は線形回帰であることです。一次関数 (1 次関数)。